Définition : un espace vectoriel de dimension sur ,
On dit que est -linéaire alternée
pour tous les vecteurs , tous les scalaires et pour
C'est à dire qu'elle est linéaire par rapport à chacune des variabes et que l'échange de 2 variables la transforme en son opposé.
Remarque : Ainsi, quand on a 2 fois le même vecteur, la forme est égale à son opposée et donc nulle...
Théorème : Si est -linéaire alternée et si , alors est complètement définie.
Preuve. Il suffit en effet de développer par -linéarité et d'utiliser le caractère alterné pour remettre les vecteurs dans le bon ordre.
Le résultat s'exprime donc en fonction de car les autres termes sont nuls.
Le coefficient ne dépend que des règles de calcul et non pas de .
On a donc le résultat dès qu'on fixe la valeur de .
Définition : Le déterminant de dans est où est la forme -linéaire alternée vérifiant . On le note
Théorème : Echanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par .
Théorème : Si on a deux fois le même vecteur dans un déterminant, celui-ci est nul.
Théorème : Si un vecteur est combinaison linéaire des autres vecteurs, le déterminant est nul.
Preuve. En développant par linéarité par rapport à ce vecteur, on n'obtient que des déterminants qui contiennent 2 fois le même vecteur, et sont donc nuls.
Théorème : Ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs ne change pas le déterminant.
Preuve. Ceci est une conséquence immédiate du théorème précédent.
Théorème : Multiplier un seul des vecteurs par multiplie le déterminant par .
Théorème : formes -linéaires alternées sont proportionelles.
Preuve. Les règles de calcul qui permettent de tout exprimer en fonction de restent les mêmes que l'on travaille avec la forme-linéaire alternée ou .
Ainsi, on a : et : . est le même dans les deux cas, il ne dépend que de , pas de ou .
On a donc bien un tel que : pour tous les .
Or les déterminants dans différentes bases sont des formes -linéaires alternées et sont donc proportionels.
Ceci nous donne : pour tout.
Et enfin :
Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs.
Pour la première relation, on calcule en remplaçant par .
Pour l'autre, on échange simplement les rôles de et de .
Remarque : Si on applique ce dernier résultat à, on obtient :
Ce qui prouve qu'un déterminant d'une base dans une autre est non nul.
Théorème : est une base de
Preuve. Si la famille est liée, le déterminant est clairement nul.
Si la famille est libre, est une base qu'on note, d'où :.
Ce qui entraîne , comme on vient de le voir.