Chapitre 1 : Déterminants

1 Déterminant de $ n$ vecteurs dans une base

Sous-sections


1 Déterminant de $ n$ vecteurs dans une base $ \mathcal{B}$

1.1 Forme $ n$-linéaire alternée sur $ E$

Définition :   $ E$ un espace vectoriel de dimension $ n$ sur $ \mathbb{K}$, \begin{displaymath}f: \left\{ \begin{array}[c]{rcl} E^{n} & \rightarrow & \ma... ...longmapsto & f(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}) \end{array} \right. \end{displaymath}
On dit que $ f$ est $ n$-linéaire alternée

\begin{displaymath}

pour tous les vecteurs $ u_{1},\ldots,u_{n}$, tous les scalaires $ \lambda,\mu$ et pour $ i\neq j$

C'est à dire qu'elle est linéaire par rapport à chacune des variabes et que l'échange de 2 variables la transforme en son opposé.

Remarque :   Ainsi, quand on a 2 fois le même vecteur, la forme est égale à son opposée et donc nulle...

1.2 Déterminant de $ n$ vecteurs dans une base $ \mathcal{B}$

Théorème :   Si $ f$ est $ n$-linéaire alternée et si $ f(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n} )=1$, alors $ f$ est complètement définie.

Preuve. Il suffit en effet de développer par $ n$-linéarité et d'utiliser le caractère alterné pour remettre les vecteurs dans le bon ordre.
Le résultat s'exprime donc en fonction de $ f(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$ car les autres termes sont nuls.
Le coefficient ne dépend que des règles de calcul et non pas de $ f$.
On a donc le résultat dès qu'on fixe la valeur de $ f(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$. $ \qedsymbol$

Définition :   Le déterminant de $ (u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})$ dans $ \mathcal{B}$ est$ f(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})$$ f$ est la forme $ n$-linéaire alternée vérifiant $ f(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n} )=1$. On le note$ \det(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}}$

1.3 Propriétés élémentaires

Théorème :   Echanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par $ -1$.

Théorème :   Si on a deux fois le même vecteur dans un déterminant, celui-ci est nul.

Théorème :   Si un vecteur est combinaison linéaire des autres vecteurs, le déterminant est nul.

Preuve. En développant par linéarité par rapport à ce vecteur, on n'obtient que des déterminants qui contiennent 2 fois le même vecteur, et sont donc nuls. $ \qedsymbol$

Théorème :   Ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs ne change pas le déterminant.

Preuve. Ceci est une conséquence immédiate du théorème précédent. $ \qedsymbol$

Théorème :   Multiplier un seul des vecteurs par $ \lambda$ multiplie le déterminant par $ \lambda$.

1.4 Déterminant dans une base $ \mathcal{B}^{\prime}=\left( e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime},\ldots,e_{n}^{\prime}\right) $

Théorème :   $ 2$ formes $ n$-linéaires alternées sont proportionelles.

Preuve. Les règles de calcul qui permettent de tout exprimer en fonction de$ f(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$ restent les mêmes que l'on travaille avec la forme$ n$-linéaire alternée $ f$ ou $ g$.
Ainsi, on a :    $ f(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})=K\: f(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$     et :    $ g(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})=K\: g(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$.$ K$ est le même dans les deux cas, il ne dépend que de $ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}$, pas de $ f$ ou $ g$.
On a donc bien un $ \lambda$ tel que :    $ g(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})=\lambda \: f(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})$    pour tous les $ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}$. $ \qedsymbol$

Or les déterminants dans différentes bases sont des formes $ n$-linéaires alternées et sont donc proportionels.
Ceci nous donne :    $ \det(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}^{\prime} }=\lambda\times\det(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}}$    pour tout$ (u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})$.
Et enfin : \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{rcl} \det(u_{1},u_{2},\ldots,u_{... ... },\ldots,e_{n}^{\prime})_{\mathcal{B}} \end{array} \right. \end{displaymath}
Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs.
Pour la première relation, on calcule $ \lambda$ en remplaçant $ (u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})$ par $ (e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$.
Pour l'autre, on échange simplement les rôles de $ \mathcal{B}$ et de $ \mathcal{B}^{\prime}$.

Remarque :   Si on applique ce dernier résultat à$ (e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})$, on obtient : $ 1=\det(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})_{\mathcal{B}^{\prime}}\times\det(e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime },\ldots,e_{n}^{\prime})_{\mathcal{B}}$
Ce qui prouve qu'un déterminant d'une base dans une autre est non nul.

1.5 Caractérisation des bases

Théorème :   $ (u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})$ est une base de $ E\Leftrightarrow\det(u_{1} ,u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}}\neq0$

Preuve. Si la famille est liée, le déterminant est clairement nul.
Si la famille est libre, $ (u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})$ est une base qu'on note$ \mathcal{B}^{\prime}$, d'où :$ \det(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}^{\prime}}=\det(u_{1},u_{2} ,\ldot... ...})_{\mathcal{B}}\times\det(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})_{\mathcal{B} ^{\prime}}=1$.
Ce qui entraîne $ \det(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}}\neq0$, comme on vient de le voir. $ \qedsymbol$



© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing