Chapitre 1 : Déterminants

2 Déterminant d'un endomorphisme

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2 Déterminant d'un endomorphisme

2.1 Déterminant d'un endomorphisme dans une base $ \mathcal{B}$

Définition :   $ \varphi:E\rightarrow E$ un endomorphisme et $ \mathcal{B}$ une base de $ E$,

$\displaystyle \det\left( \varphi\right) _{\mathcal{B}}=\det\left( \varphi\left(... ...left( e_{2}\right) ,\ldots,\varphi\left( e_{n}\right) \right) _{\mathcal{B}} $

2.2 Déterminant d'un endomorphisme

Théorème :   Si $ \mathcal{B}$ et $ \mathcal{B}^{\prime}$ sont 2 bases de $ E$,

$\displaystyle \det\left( \varphi\right) _{\mathcal{B}}=\det\left( \varphi\right) _{\mathcal{B}^{\prime}} $

Preuve. Comme $ \varphi$ est linéaire, l'application $ (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})\mapsto\det\left( \varphi\left( u_{1}\right) ,\varphi\left( u_{2}\right) ,\ldots,\varphi\left( u_{n}\right) \right) _{\mathcal{B}}$ est une forme $ n$-linéaire alternée !
C'est donc un déterminant. Ainsi, comme deux déterminants sont proportionnels :

$\displaystyle \det\left( \varphi\left( u_{1}\right) ,\varphi\left( u_{2}\right)... ...t) _{\mathcal{B}}=\lambda\times \det(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}} $

et de plus, en remplaçant les $ u_{i}$ par $ e_{i}$ :$ \lambda=\det\left( \varphi\left( e_{1}\right) ,\varphi\left( e_{2}\right) ,\l... ...{n}\right) \right) _{\mathcal{B}} =\det\left( \varphi \right) _{\mathcal{B}} $
Ce qui donne : \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{rl} \det\left( \varphi\left( u_{1}... ...u_{1},u_{2},\ldots,u_{n} )_{\mathcal{B}} \end{array} \right. \end{displaymath}
De même, dans la base $ \mathcal{B}^{\prime}$ : $ \det\left( \varphi\left( u_{1}\right) ,\varphi\left( u_{2}\right) ,\ldots,\va... ...thcal{B}^{\prime}}\times\det(u_{1} ,u_{2},\ldots,u_{n})_{\mathcal{B}^{\prime}}$.
Propriété qu'on applique aux vecteurs $ e_{i}$ d'où le premier résultat :

$\displaystyle \det\left( \varphi\left( e_{1}\right) ,\varphi\left( e_{2}\right)... ...cal{B}^{\prime}}\times\det(e_{1} ,e_{2},\ldots,e_{n})_{\mathcal{B}^{\prime}} $

On utilise maintenant la propriété générale de changement de base avec les vecteurs $ \varphi\left( e_{i}\right) $, ce qui donne le second résultat :

$\displaystyle \det\left( \varphi\left( e_{1}\right) ,\varphi\left( e_{2}\right) ,\ldots,\varphi\left( e_{n}\right) \right) _{\mathcal{B}^{\prime}}$

$\displaystyle =\det\left( \varphi\left( e_{1}\right) ,\varphi\left( e_{2}\right... ...ht) _{\mathcal{B}}\times\det (e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})_{\mathcal{B}^{\prime}}$

   

$\displaystyle \det\left( \varphi\left( e_{1}\right) ,\varphi\left( e_{2}\right) ,\ldots,\varphi\left( e_{n}\right) \right) _{\mathcal{B}^{\prime}}$

$\displaystyle =\det\left( \varphi\right) _{\mathcal{B}}\times\det(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n})_{\mathcal{B}^{\prime}}$

   


On égale et on simplifie par $ \det(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})_{\mathcal{B} ^{\prime}}$ dont on a montré qu'il est bien non nul, ce qui nous permet de conclure :

$\displaystyle \det\left( \varphi\right) _{\mathcal{B}}=\det\left( \varphi\right) _{\mathcal{B}^{\prime}} $

$ \qedsymbol$

Conclusion :   On peut parler du déterminant d'un endomorphisme puisqu'il ne dépend pas de la base choisie.
On a donc le libre choix de la base pour calculer ce déterminant.

2.3 Caractérisation des automorphismes

Théorème :   Soit $ \varphi$ un endomorphisme de $ E$,

$\displaystyle \varphi$ est un automorphisme$\displaystyle \Leftrightarrow\det\left( \varphi\right) \neq0 $

Preuve. On sait que $ \varphi$ est un automorphisme $ \Leftrightarrow\left( \varphi\left( e_{1}\right) ,\varphi\left( e_{2}\right) ,\ldots ,\varphi\left( e_{n}\right) \right) $ est une base.
Ce qui équivaut à : $ \det\left( \varphi\left( e_{1}\right) ,\varphi\left( e_{2}\right) ,\ldots,\varphi\left( e_{n}\right) \right) _{\mathcal{B}}\neq0$, c'est à dire $ \det\left( \varphi\right) \neq0$ $ \qedsymbol$

2.4 Déterminant de la composée de 2 endomorphismes

Théorème :   $ \varphi$ et $ \psi$ deux endomorphismes de $ E$, alors

$\displaystyle \det\left( \varphi\circ\psi\right) =\det\left( \varphi\right) \times \det\left( \psi\right) $

Preuve. La propriété est immédiate quand $ \psi$ n'est pas inversible car alors $ \varphi\circ\psi$ ne l'est pas non plus et les deux termes sont nuls.
Si $ \psi$ est inversible, on note $ \mathcal{B}^{\prime}=\left( e_{1}^{\prime },e_{2}^{\prime},\ldots,e_{n}^{\pri... ...e_{1}\right) ,\psi\left( e_{2}\right) ,\ldots,\psi\left( e_{n}\right) \right) $.
Alors

$\displaystyle \det\left( \varphi\circ\psi\right)$

$\displaystyle =\det\left( \varphi\left( e_{1}^{\prime}\right) ,\varphi\left( e... ...me}\right) ,\ldots ,\varphi\left( e_{n}^{\prime}\right) \right) _{\mathcal{B}}$

   

 

$\displaystyle =\det\left( \varphi\left( e_{1}^{\prime}\right) ,\varphi\left( e... ...\times\det(e_{1}^{\prime},e_{2}^{\prime},\ldots ,e_{n}^{\prime})_{\mathcal{B}}$

   

 

$\displaystyle =\det\left( \varphi\right) \times\det\left( \psi\left( e_{1}\righ... ...\psi\left( e_{2}\right) ,\ldots,\psi\left( e_{n}\right) \right) _{\mathcal{B}}$

   

 

$\displaystyle =\det\left( \varphi\right) \times\det\left( \psi\right)$

   


$ \qedsymbol$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing