Chapitre 1 : Déterminants

3 Déterminant d'une matrice carrée

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3 Déterminant d'une matrice carrée

3.1 Déterminant d'une matrice carrée

Une matrice carrée $n\times n$ s'interprète comme la matrice d'un endomorphisme $\varphi$ de dans la base $\mathcal{B}$ . On pose donc :

Définition : $\det\left( A\right) =\det\left( \varphi\right)$

3.2 Déterminant d'un produit de 2 matrices, de la matrice inverse d'une matrice inversible

Théorème : $A,B\in\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right)$

$\displaystyle \det\left( A\times B\right) =\det\left( A\right) \times\det\left( B\right)$

Preuve. $A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}\left( \varphi\right)$ , $B=\mathcal{M} _{\mathcal{B}}\left( \psi\right)$ , alors :

$\displaystyle A\times B$	$\displaystyle =\mathcal{M}_{\mathcal{B}}\left( \varphi\circ\psi\right)$
$\displaystyle \det\left( \varphi\circ\psi\right)$	$\displaystyle =\det\left( \varphi\right) \times\det\left( \psi\right)$
$\displaystyle \det\left( A\times B\right)$	$\displaystyle =\det\left( A\right) \times\det\left( B\right)$

$\qedsymbol$

Théorème : $A\in GL_{n}\left( \mathbb{K}\right)$

$\displaystyle \det\left( A^{-1}\right) =\dfrac{1}{\det\left( A\right) }$

Preuve. $A\times A^{-1}=I_{n}$ , $\det\left( I_{n}\right) =\det\left( Id_{E}\right) =\det(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})_{\mathcal{B}}=1$ , d'où : $\det\left( A\right) \times\det\left( A^{-1}\right) =1$ $\qedsymbol$

3.3 Déterminant de 2 matrices semblables

Théorème : et , 2 matrices semblables de $\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right)$ , alors : $\det\left( A\right) =\det\left( B\right)$

Preuve. On a $P\in GL_{n}\left( \mathbb{K}\right)$ telle que $B=P^{-1}\times A\times P,$ d'où :

$\displaystyle \det\left( B\right)$	$\displaystyle =\det\left( P^{-1}\right) \times\det\left( A\right) \times\det\left( P\right)$
	$\displaystyle =\det\left( P^{-1}\right) \times\det\left( P\right) \times\det\left( A\right)$
	$\displaystyle =\det\left( P^{-1}\times P\right) \times\det\left( A\right)$
	$\displaystyle =\det\left( A\right)$

$\qedsymbol$

3.4 Déterminant de la transposée d'une matrice

Théorème : $A\in\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{K}\right)$ , alors

$\displaystyle \det\left( ^{t}\!A\right) =\det\left( A\right)$

La démonstration est ici admise.