On va d'abord retrouver un résultat bien connu :
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En dimension 3, on peut utiliser la règle de Sarrus, qui se montre de la même façon, en n'oubliant pas qu'elle n'est absolument pas généralisable à un ordre autre que 3...
Théorème :
Preuve. On factorise par , et, en enlevant le bon nombre de fois le premier vecteur aux autres, on amène des 0 sur la première ligne et on obtient :
On recommence ensuite avec . On obtient ainsi de suite par une récurrence admise :
La règle des signes est :
Remarque : On remarque qu'on a en ligne et colonne.
On développe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la règle de signes où est le coefficient de la matrice et est le déterminant obtenu en enlevant la ligne et la colonne correspondante.
On admet ce résultat.
Théorème : On peut développer selon la colonne :
ou développer selon la ligne :
Remarque : Il est important de noter qu'on peut choisir sa ligne ou sa colonne.
Corollaire : En utilisant les notations précédentes, , une matrice inversible, alors :
transposée de
Preuve. Le calcul de transposée de donne pour les termes de la diagonale et 0 pour les autres puisque cela revient à développer un déterminant qui a 2 colonnes identiques.
Théorème : , , , est la matrice nulle de et. Alors,
On admet ce résultat.
Remarque : Cette propriété ne se généralise pas au déterminant d'une matrice définie par blocs et non triangulaire par blocs.
Exemple : On va calculer le déterminant : .
Ce déterminant est celui d'une matrice triangulaire par blocs, dont on fait ressortir ici la structure :.
On a donc, en appliquant deux fois le théorème précédent :.
Attention, ce ne sont pas des valeurs absolues...
On notera les déterminants avec un indice qui correspond à leur rang, qui est toujours plus grand que 1.
Soit le déterminant qu'on développe selon la colonne en développant ce déterminant selon la ligne.
On obtient ainsi la relation de récurrence qu'on résout en calculant et
Soit le déterminant avec
A chaque ligne, de la dernière à la seconde, on enlève la précédente. Ces opérations sont faites successivement...
Il faut bien vérifier qu'on peut les faire successivement et qu'on n'utilise pas une ligne ou une colonne qui a été modifiée... et qui donc n'existe plus !
On obtient donc :
A chaque ligne, de la dernière à la troisième, on enlève la précédente.
Ces opérations sont faites successivement...
On obtient donc : obtenu en développant successivement selon la première et la dernière colonne. Enfin,