Chapitre 1 : Déterminants

4 Calcul de déterminants

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4 Calcul de déterminants

4.1 En dimension 2 et 3

On va d'abord retrouver un résultat bien connu :

$\displaystyle \left\vert \begin{array}[c]{cc} a & c b & d \end{array} \right\vert$

$\displaystyle =\det\left( u_{1},u_{2}\right) =\det\left( a.e_{1} +b.e_{2},c.e_{1}+d.e_{2}\right) _{\mathcal{B}}$

   

 

$\displaystyle =ac\det\left( e_{1},e_{1}\right) _{\mathcal{B}}+ad\det\left( e_{1... ...2},e_{1}\right) _{\mathcal{B} }+bd\det\left( e_{2},e_{2}\right) _{\mathcal{B}}$

   

 

$\displaystyle =0+ad-bc+0=ad-bc$

   


En dimension 3, on peut utiliser la règle de Sarrus, qui se montre de la même façon, en n'oubliant pas qu'elle n'est absolument pas généralisable à un ordre autre que 3...

\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}[c]{lll} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array} \right\vert =aei+dhc+gbf-ceg-fha-ibd \end{displaymath}

4.2 Déterminant d'une matrice triangulaire.

Théorème :   \begin{displaymath}\Delta=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} a_{1} & x & \cdot... ...t\vert =a_{1}\times a_{2}\times\ldots\times a_{n-1}\times a_{n}\end{displaymath}

Preuve. On factorise par $ a_{1}$, et, en enlevant le bon nombre de fois le premier vecteur aux autres, on amène des 0 sur la première ligne et on obtient :

\begin{displaymath} \Delta=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} a_{1} & x & \cd... ...\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{n} \end{array} \right\vert \end{displaymath}

On recommence ensuite avec $ a_{2}$. On obtient ainsi de suite par une récurrence admise :

\begin{displaymath} \Delta=a_{1}\times a_{2}\times\ldots\times a_{n-1}\times a_... ...vert =a_{1}\times a_{2}\times\ldots\times a_{n-1}\times a_{n} \end{displaymath}

$ \qedsymbol$

4.3 Développement suivant une ligne ou une colonne

La règle des signes est :\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}[c]{ccccccc} + & - & + & \cdots &... ... \end{array} \right\vert \renewedcommand{arraystretch}{1.3} \end{displaymath}

Remarque :   On remarque qu'on a $ (-1)^{i+j}$ en $ i^{\grave{e}me}$ ligne et $ j^{\grave {e}me}$ colonne.

On développe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la règle de signes $ (-1)^{i+j}a_{ij} \Delta_{ij}$$ a_{ij}$ est le coefficient de la matrice et $ \Delta_{ij}$ est le déterminant obtenu en enlevant la ligne $ i$ et la colonne $ j$ correspondante.
On admet ce résultat.

Théorème :   On peut développer selon la $ j^{\grave {e}me}$ colonne :

$\displaystyle \Delta=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij} \Delta_{ij} $

ou développer selon la $ i^{\grave{e}me}$ ligne :

$\displaystyle \Delta=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij} \Delta_{ij} $

Remarque :   Il est important de noter qu'on peut choisir sa ligne ou sa colonne.

Corollaire :   En utilisant les notations précédentes, $ M$, une matrice inversible, alors :

$\displaystyle M^{-1}=\dfrac{1}{\Delta }\times$   transposée de \begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{ccc} & \vdots & \\ \cdots & (-... ... \Delta_{ij} & \cdots \\ & \vdots & \end{array} \right) \end{displaymath}

Preuve. Le calcul de $ M\times$   transposée de \begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{ccc} & \vdots & \\ \cdots & (-... ... \Delta_{ij} & \cdots \\ & \vdots & \end{array} \right) \end{displaymath} donne $ \Delta$ pour les termes de la diagonale et 0 pour les autres puisque cela revient à développer un déterminant qui a 2 colonnes identiques. $ \qedsymbol$

4.4 Opérations sur les lignes et les colonnes d'un déterminant.

4.5 Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

Théorème :   $ A\in\mathcal{M}_{p}\left( \mathbb{K}\right) $, $ C\in\mathcal{M}_{q}\left( \mathbb{K}\right) $, $ C\in\mathcal{M}_{p,q}\left( \mathbb{K}\right) $, $ O$ est la matrice nulle de $ \mathcal{M}_{q,p}\left( \mathbb{K}\right) $ et$ p+q=n$. Alors,

\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}[c]{cc} A & B\\ O & C \end{array} \right\vert =\det\left( A\right) \times\det\left( C\right) \end{displaymath}

On admet ce résultat.

Remarque :   Cette propriété ne se généralise pas au déterminant d'une matrice définie par blocs et non triangulaire par blocs.

Exemple :   On va calculer le déterminant : \begin{displaymath}\Delta=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} 1 & 2 & \pi & \ln... ... & -3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \end{array} \right\vert \end{displaymath}.
Ce déterminant est celui d'une matrice triangulaire par blocs, dont on fait ressortir ici la structure :\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \left( \begin{array}[c]{cc} ... ... 0 & 0 \end{array} & \left( -3\right) \end{array} \right) \end{displaymath}.
On a donc, en appliquant deux fois le théorème précédent :\begin{displaymath}\Delta=\left\vert \begin{array}[c]{cc} 1 & 2\\ 3 & 4 \en... ...right\vert =\left( -2\right) \times2\times\left( -3\right) =12\end{displaymath}.
Attention, ce ne sont pas des valeurs absolues...

4.6 Exemples

On notera les déterminants avec un indice qui correspond à leur rang, qui est toujours plus grand que 1.

4.6.1 Utilisation d'une formule de récurrence

Soit le déterminant \begin{displaymath}\Delta_{n}=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} 2 & 1 & 0 & \... ...2 & 1\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 2 \end{array} \right\vert _{n}\end{displaymath} qu'on développe selon la $ 1^{\grave{e}re}$ colonne\begin{displaymath}\Delta_{n}=\Delta_{n-1}-1\times\left\vert \begin{array}[c]{c... ... \right\vert _{n-1} \hspace{-1.5 em}=\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}\end{displaymath} en développant ce déterminant selon la $ 1^{\grave{e}re}$ ligne.
On obtient ainsi la relation de récurrence $ \Delta_{n}=\Delta_{n-1} -\Delta_{n-2}$ qu'on résout en calculant $ \Delta_{1}$ et $ \Delta_{2}.$

4.6.2 Manipulation de lignes ou colonnes

Soit le déterminant \begin{displaymath}\Delta_{n}=\left\vert \text{abs}\left( i-j\right) \right\ver... ...& 1\\ n-1 & \cdots & 2 & 1 & 0 \end{array} \right\vert _{n}\end{displaymath} avec $ n\geqslant3.$
A chaque ligne, de la dernière à la seconde, on enlève la précédente. Ces opérations sont faites successivement...
Il faut bien vérifier qu'on peut les faire successivement et qu'on n'utilise pas une ligne ou une colonne qui a été modifiée... et qui donc n'existe plus !
On obtient donc : \begin{displaymath}\Delta_{n}=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} 0 & 1 & 2 & \... ...& -1\\ 1 & \cdots & 1 & 1 & -1 \end{array} \right\vert _{n}\end{displaymath}
A chaque ligne, de la dernière à la troisième, on enlève la précédente.
Ces opérations sont faites successivement...
On obtient donc :\begin{displaymath}\Delta_{n}=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} 0 & 1 & 2 & \... ...ots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 2 \end{array} \right\vert _{n-2}\end{displaymath} obtenu en développant successivement selon la première et la dernière colonne. Enfin, $ \Delta_{n}=\left( -1\right) ^{n+1}\left( n-1\right) 2^{n-2} $


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing