Chapitre 11 : Séries Entières

2 Opérations sur les Séries Entières

Sous-sections

2 Opérations sur les Séries Entières

2.1 Somme de 2 séries entières

Théorème : $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{l} \displaystyle\sum a_{n}z^{n}\tex... ...t\} \Rightarrow\displaystyle\sum\left( a_{n}+b_{n}\right) z^{n}\end{displaymath}$ est de rayon $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \inf(R_{a},R_{b})\text{ pour }R... ...R\geqslant R_{a}\text{ pour }R_{a}=R_{b} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Preuve. Si $R_{a}=R_{b}$ , on n'a rien à montrer puisque la somme de 2 séries convergentes est convergente.
Si $R_{a}\neq R_{b}$ , par exemple $R_{a}<R_{b}$ . Pour tel que $R_{a}<r<R_{b}$ , $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \displaystyle\sum a_{n}r^{n}\tex... ...t\} \Rightarrow\displaystyle\sum\left( a_{n}+b_{n}\right) r^{n}\end{displaymath}$ diverge, et $R\leqslant R_{a}$ .
Par ailleurs, $R\geqslant R_{a}$ par somme de séries convergentes.
On a donc bien $R=R_{a}$ . $\qedsymbol$

2.2 Produit par un scalaire

Théorème : Si $\displaystyle\sum a_{n}z^{n}$ est une série entière de rayon de convergence, et $\lambda\neq0$ , alors $\displaystyle\sum\lambda a_{n}z^{n}$ est une série entière de rayon de convergence $R^{\prime}=R$ .

Preuve. C'est tout à fait simple ! On prend un , alors $\displaystyle\sum\lambda a_{n}r^{n}$ converge et donc : $R^{\prime}\geqslant R$ .
On prend ensuite , alors $\displaystyle\sum\lambda a_{n}r^{n}$ diverge et donc : $R^{\prime}\leqslant R$ . $\qedsymbol$