Chapitre 11 : Séries Entières

4 Développement d'une fonction en Série Entière, Sommation de Séries Entières

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4 Développement d'une fonction en Série Entière, Sommation de Séries Entières

Les deux problèmes sont complémentaires, il s'agit pour unr fonction donnée de trouver une série entière égale à cette fonction sur un intervalle à préciser, ou bien il s'agit pour une série entière de trouver une fonction usuelle à laquelle est est égale sur un intervalle à préciser.

4.1 Fonction développable en série entière

Définition : Soit $f:\mathbb{R\rightarrow K}$ , définie au voisinage de 0.
On dit que est développable en série entière à l'origine $\Leftrightarrow$ il existe une série entière $\displaystyle\sum a_{n}x^{n}$ de rayon de convergence , et un voisinage de l'origine tel que : $\forall x\in V, f\left( x\right) =\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}$ .
On remarquera que nécessairement, $V\subset\left[ -R,R\right]$ .

Théorème : Soit développable en série entière à l'origine, alors est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au voisinage de 0, et cette série entière est la série de Taylor : $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!}x^{n}$ .
Ce développement, s'il existe, est donc unique, égal à la série de Taylor à l'origine de la fonction.

Remarque : Il n'y a pas de réciproque, une fonction peut être de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au voisinage de 0 sans être développable en série entière à l'origine.

Preuve. Soit $\left] -a,a\right[ \subset V$ , alors, $\forall x\in\left] -a,a\right[ , f\left( x\right) =\displaystyle\sum\limits_{n=0} ^{+\infty}a_{n}x^{n}$ . Or $\left] -a,a\right[ \subset\left] -R,R\right[$ , ce qui prouve que la série entière, et donc la fonction est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au voisinage de 0. On obtient, en dérivant terme à terme la série entière :

$\displaystyle f\left( 0\right)$	$\displaystyle =a_{0}$
$\displaystyle f^{\prime}\left( 0\right)$	$\displaystyle =1\times a_{1}$
$\displaystyle f^{\prime\prime}\left( 0\right)$	$\displaystyle =2\times1\times a_{2}$
	$\displaystyle \vdots$
$\displaystyle f^{\left( n\right) }\left( 0\right)$	$\displaystyle =n!\times a_{n}$

Ce qui assure le résultat. $\qedsymbol$

Corollaire : définie et développable en série entière sur $\left] -a,a\right[$ , $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{rll} f\text{ paire} & \Leftrightar... ... \text{son d\'{e}veloppement est impair} \end{array} \right. \end{displaymath}$

4.2 Développement d'une fonction en série entière

Il s'agit ici de la recherche pratique du développement d'une fonction donnée en série entière.

Il faut essayer d'utiliser les développements connus, mais aussi leurs dérivées et leurs primitives...
Ceci est toujours possible pour une fraction rationelle qu'on décompose en éléments simples sur $\mathbb{C}$ , même si la fonction est à valeurs réelles.
On se retrouve avec des séries géométriques et des dérivées de séries géométriques.
Par exemple :
$\displaystyle \frac{1}{a-x}$
$\displaystyle =\frac{1}{a}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{x}{a}\right) ^{n}$ pour $\displaystyle \left\vert x\right\vert <\left\vert a\right\vert$

$\displaystyle \frac{1}{\left( a-x\right) ^{2}}$
$\displaystyle =\left( \frac{1}{a-x}\right) ^{\prime}$
On peut essayer la formule de Taylor avec reste intégral ou l'inégalité de Taylor-Lagrange comme on l'a fait pour les fonctions usuelles.
L'énoncé doit vous guider...
Enfin, on peut utiliser une équation différentielle. Là aussi, l'énoncé doit vous guider...
- On considère au départ une série entière de rayon de convergence solution de l'équation différentielle. On pose donc $y=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}$ .
- Tout ce qu'on écrit est valable pour $x\in\left] -R,R\right[$ . Il faut le dire...
- On calcule $y^{\prime}$ et au besoin $y^{\prime\prime}$ , on reporte dans l'équation.
- On éclate tout en sommes de séries entières.
- On regroupe ce qui se regroupe naturellement.
- Ensuite, on réindexe pour trouver une série entière unique et nulle.
- Alors, chaque coefficient est nul, par unicité du développement en série entière quand il existe.
  On a en général une relation de récurrence entre les coefficients.
  Cette relation permet normalement de calculer les coefficients mais aussi assez souvent de trouver directement le rayon de convergence, ce qui est indispensable.
Exemple : On peut facilement retrouver les developpements de l'exponentielle, du sinus, ..., par ce procédé.

4.3 Sommation de certaines séries entières

Il faut essayer :

en dérivant et en intégrant terme à terme,
en regroupant ou en séparant des termes,

de se ramener à des séries connues.

Exemple : Soit $f\left( x\right) =\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{2^{n}}x^{n}$ .
On calcule facilement le rayon de convergence , on travaille pour $x\in\left] -2,2\right[$ .
Le problème est ici d'abord le en facteur.
On considère que cet est apparu lors d'une dérivation.

$\displaystyle f\left( x\right) =\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{2^{n}}x^{n... ...sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{2^{n}}x^{n-1}=xg^{\prime}\left( x\right)$

D'où : $g\left( x\right) =\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{2^{n}} =\dfrac{\dfrac{x}{2}}{1-\dfrac{x}{2}}=\dfrac{x}{2-x}$ puisqu'il s'agit d'une série géométrique.
Par simple dérivation, $g^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{2}{\left( 2-x\right) ^{2}}$ et enfin : $\forall x\in\left] -2,2\right[ , f\left( x\right) =\dfrac{2x}{\left( 2-x\right) ^{2}}$ .

$\displaystyle \frac{1}{a-x}$	$\displaystyle =\frac{1}{a}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{x}{a}\right) ^{n}$ pour $\displaystyle \left\vert x\right\vert <\left\vert a\right\vert$
$\displaystyle \frac{1}{\left( a-x\right) ^{2}}$	$\displaystyle =\left( \frac{1}{a-x}\right) ^{\prime}$