Chapitre 11 : Séries Entières

5 Exponentielle complexe

Sous-sections

5.1 Exponentielle complexe
5.2 Cohérence de cette définition

5 Exponentielle complexe

5.1 Exponentielle complexe

Définition : Pour $z\in\mathbb{C}$ , on pose $e^{z}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{n!}$ qu'on appelle exponentielle de .

Cette définition est bien entendue destinée à prolonger la définition de l'exponentielle dans $\mathbb{R}$ .

5.2 Cohérence de cette définition

Pour $z=e^{i\theta}$ , avec $\theta\in\mathbb{R}$ , $\cos\theta+i\sin\theta =\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( -1\right... ...sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{\left( i\theta\right) ^{n}}{n!} =e^{i\theta}$ .
Tout ceci est bien compatible. Il faudrait encore montrer que $e^{z+z^{\prime }}=e^{z}\times e^{z^{\prime}}$ pour avoir les règles de calcul habituelles sur les complexes.
On admet ce résultat.