Chapitre 12 : Séries de Fourier

1 Application de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux

Sous-sections

1 Application de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux

1.1 Application de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \left[ a,b\right] $

Définition :   $ f$ définie sur $ \left[ a,b\right] $ est de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \left[ a,b\right] $

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}[c]{l} \exists a_{0}, ... ...t\} \quad f_{i}=f_{\rfloor\left] a_{i-1},a_{i}\right[ } \end{array} \right. $

la restriction de $ f$ à $ \left] a_{i-1},a_{i}\right[ $ est prolongeable sur $ \left[ a_{i-1},a_{i}\right] $ en une application de classe $ \mathcal{C}^{1}$ notée $ \widetilde{f_{i}}$

Remarquons que $ f$ est nécessairement continue par morceaux mais pas nécessairement continue !
De plus, il faut bien observer que le fait d'être de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux ne dépend pas de la subdivision, il suffit que celle ci existe.
En pratique, il suffit de vérifier que le graphe de $ f$ n'aille jamais à l'infini et n'admette pas de tangente verticale.
Pour cela, on fera obligatoirement un graphe de la fonction sur un peu plus d'une période.

1.2 Application $ T$-périodique de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \mathbb{R}$

Définition :   $ f$, $ T$-périodique, est de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur$ \mathbb{R}\Leftrightarrow$ pour $ a\in\mathbb{R}$, $ f$ est de classe$ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \left[ a,a+T\right] $

C'est le type de fonctions qu'on rencontrera dans ce chapitre. La période sera d'ailleurs le plus souvent $ 2\pi $.

1.3 Opération sur les applications $ \mathcal{C}^{1}$ par mcx

Théorème :    

de $ 2$ applications de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \left[ a,b\right] $ sont de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \left[ a,b\right] $.

Preuve. Sans faire la démonstration dans le détail, signalons qu'il suffit de prendre une subdivision qui convient pour les deux applications. $ \qedsymbol$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing