Chapitre 12 : Séries de Fourier

2 Série de Fourier d'une application $ T$-périodique

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2 Série de Fourier d'une application $ T$-périodique

Pour une application $ f$, $ T$-périodique, on va pouvoir déterminer la série de Fourier de $ f$.
Dans un deuxième temps, il va falloir déterminer

Ce ne sera pas toujours $ f\left( x\right) $ en tous points...

2.1 Coefficients de Fourier d'une application $ T$-périodique continue par morceaux

Dans les séries de Fourier, assez souvent, on n'a de formule pour $ f$ que dans un certain intervalle, on veillera donc à n'utiliser cette formule que sur cet intervalle...

2.1.1 Application $ T$-périodique

Définition :   $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{K}$, $ T$-périodique, continue par morceaux sur $ \mathbb{R}$.
On pose, avec $ \omega=\dfrac{2\pi}{T}$,

$\displaystyle a_{0}=\dfrac{1}{T} {\displaystyle\int_{-T/2}^{T/2}} f(t)\,dt $

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad a_{n}=\dfrac{2}{T} {\display... ...\dfrac{2}{T} {\displaystyle\int_{\alpha}^{\alpha+T}} f(t)\cos n\omega t\,dt $

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad b_{n}=\dfrac{2}{T} {\display... ...\dfrac{2}{T} {\displaystyle\int_{\alpha}^{\alpha+T}} f(t)\sin n\omega t\,dt $

Ce sont les coefficients de Fourier de $ f$. Et $ a_{0}$ est la valeur moyenne de $ f$.

Remarque :   Bien sûr, si $ f$ est à valeurs réelles, les coefficients de Fourier de $ f$ sont réels.

2.1.2 Application $ 2\pi $-périodique

Quand $ f$ est $ 2\pi $-périodique, les coefficients sont :

$\displaystyle a_{0}=\dfrac{1}{2\pi} {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f(t)\,dt $

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad a_{n}=\dfrac{1}{\pi} {\displ... ...t=\dfrac{1}{\pi} {\displaystyle\int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}} f(t)\cos nt\,dt $

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad b_{n}=\dfrac{1}{\pi} {\displ... ...t=\dfrac{1}{\pi} {\displaystyle\int_{\alpha}^{\alpha+2\pi}} f(t)\sin nt\,dt $

Remarque :   Dans le cas où $ f$ est paire ou impaire, on peut travailler sur une demi-période, impérativement $ \left[ 0,\dfrac{T}{2}\right] $.

2.1.3 Application $ 2\pi $-périodique et paire

Dans le cas où $ f$ est paire et $ 2\pi $-périodique,

$\displaystyle a_{0}=\dfrac{1}{\pi} {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} f(t)\,dt $

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad a_{n}=\dfrac{2}{\pi} {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} f(t)\cos nt\,dt $

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad bn=0 $

2.1.4 Application $ 2\pi $-périodique et impaire

Dans le cas où $ f$ est impaire et $ 2\pi $-périodique,

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\quad a_{n}=0 $

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast},\quad b_{n}=\dfrac{2}{\pi} {\displaystyle\int_{0}^{\pi}} f(t)\sin nt\,dt $

2.1.5 Coefficients de Fourier complexes

Si cela est plus facile, on peut calculer

$\displaystyle c_{0}=a_{0}=\dfrac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)\,dt $

$\displaystyle c_{n}=\dfrac{1}{T}\int_{\alpha}^{\alpha+T}f\left( t\right) e^{-in\omega t}\,dt=\dfrac{a_{n}-ib_{n}}{2}\text{ pour }n\in\mathbb{N}^{\ast} $

Remarque :   Si $ f$ est à valeurs réelles, $ a_n$ et $ b_n$ sont réels, et donc : $ a_n=\dfrac{\mathrm{Re}\left( c_n\right)}{2}$ et$ b_n=-\dfrac{\mathrm{Im}\left( c_n\right)}{2}$

2.2 Série de Fourier associée à une application $ T$ -périodique continue par morceaux

2.2.1 Application $ T$-périodique

Définition :   $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{K}$, $ T$-périodique, continue par morceaux sur $ \mathbb{R}$, on appelle série de Fourier de $ f$, la série

$\displaystyle S(f)(t)=a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t\right)$   avec : $\displaystyle \omega=\dfrac{2\pi}{T} $

Remarque :   Si $ f$ est paire, il n'y a pas de terme en sinus, tandis que si $ f$ est impaire, il n'y a pas de terme en cosinus.

2.2.2 Application $ 2\pi $-périodique

Dans le cas où $ f$ est $ 2\pi $-périodique,

$\displaystyle S(f)(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt\right) $


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing