Chapitre 12 : Séries de Fourier

3 Convergence d'une série de Fourier : théorèmes de Dirichlet

Sous-sections

3 Convergence d'une série de Fourier : théorèmes de Dirichlet

Les théorèmes de convergence, délicats à montrer, seront admis.

Remarque :   Rien n'assure que la série de Fourier converge en tous points.
En un point où la série de Fourier converge, rien n'assure que$ S(f)(t)=f\left( t\right) $.

3.1 $ f$ de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux, $ T$-périodique

Théorème :   $ f$ de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \mathbb{R}$,$ T$-périodique$ \Rightarrow$ la série de Fourier de $ f$ converge en tous points, et est de somme

$\displaystyle S(f)(t)=\dfrac{f(t+0)+f(t-0)}{2} $

où $ f(t+0)$ et $ f(t-0)$ sont les limites à droite et à gauche de$ f$.

Remarque :   En tous points où $ f$ est continue, on a :    $ S(f)(t)=f(t)$.
Il n'y a qu'aux points où $ f$ est discontinue qu'il risque d'y avoir $ S(f)(t)\not =f(t)$.
On fera donc un graphe de la fonction sur un peu plus d'une période

Si, en un point de discontinuité, on n'a pas $ f\left( t\right) =\dfrac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$, alors, on considère une application$ \widetilde{f}$ égale à $ f$ partout où elle est continue et$ \widetilde{f}\left( t\right) =\dfrac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$ là où $ f$ est dicontinue.
Comme il n'y a qu'en quelques points que $ f$ et $ \widetilde{f}$ sont différentes, elles ont la même série de Fourier.
Par conséquent, la série de Fourier de $ f$ a pour somme $ \widetilde{f}$.

3.2 $ f$ continue, de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \mathbb{R}$, $ T$-périodique

Théorème :   $ f$ continue et de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \mathbb{R}$, $ T$-périodique$ \Rightarrow$ la série de Fourier de $ f$ converge en tous points, et : S(f)(t)=f(t).
De plus, les séries $ \displaystyle\sum\left\vert a_{n}\right\vert $ et $ \displaystyle\sum\left\vert b_{n}\right\vert $ convergent.
Enfin, $ {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}} f(t)\,dt$ peut se calculer en intégrant terme à terme la série de Fourier de $ f$.

D'autre part, nous avons un théorème d'unicité du développement en série de Fourier :

Théorème :   Soit $ f$ continue, somme d'une série trigonométrique en tous points,

$\displaystyle \forall t\in\mathbb{R},\quad f\left( t\right) =a_{0}+\sum\limits_{n=1} ^{+\infty}\left( a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t\right) $

Alors, cette série est la série de Fourier de $ f$.

Ceci permet donc parfois de trouver le développement en série de Fourier par des moyens « détournés » comme par exemple des développements en série entière en $ e^{it}$ et $ e^{-it}$.

3.3 Deux exemples

Nous allons « observer » la convergence des séries de Fourier de deux applications de classe $ \mathcal{C}^{1}$par morceaux sur$ \mathbb{R}, $ l'une continue, l'autre discontinue.

3.3.1 $ f$ continue

Soit $ f$ paire, $ 2\pi $ périodique, valant $ \dfrac{\pi}{2}-t$ sur$ \left[ 0,\pi\right] $.
Le calcul de la série de Fourier est simple.
Les$ b_{n}$ sont nuls, les $ a_{2k}$ aussi et les $ a_{2k+1}$ valent $ \dfrac{4} {\pi\left( 2k+1\right) ^{2}}$.
Ainsi la série de Fourier est :

$\displaystyle S(f)(x)=\dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{\left( 2k+1\right) ^{2} }\cos\left( 2k+1\right) x $

On s'intéresse ici aux sommes partielles :$ S_{2p+1}(f)(x)=\dfrac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{k=0}^{p}\dfrac{1}{\left( 2k+1\right) ^{2}}\cos\left( 2k+1\right) x $

Remarque :   On ne dispose ici d'une formule explicite de $ f(t)$ que sur $ [0,\pi]$.
On veillera avec soin à ne pas utiliser cette formule en dehors de cet intervalle !

On voit sur la figure ci-dessous quelques sommes partielles de la série de Fourier de $ f$.

$\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[ width=2.9in ] {Fou-Cont-0} \\ $p=0$ \end{center}}$         $\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[ width=2.9in ] {Fou-Cont-2} \\ $p=2$ \end{center}}$$\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[width=2.9in]{Fou-Cont-4} \\ $p=4$ \end{center}}$         $\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[ width=2.9in ] {Fou-Cont-8} \\ $p=8$ \end{center}}$

On peut voir que la convergence de la série de Fourier vers la fonction est rapide.
Quelques harmoniques suffisent, un grand nombre n'apporte rien de plus.

3.3.2 $ f$ discontinue

Soit $ g$ impaire, $ 2\pi $ périodique, valant 1 sur $ \left] 0,\pi\right[ $. Elle vaut donc 0 en 0 et en $ \pi$.
Le calcul de la série de Fourier est simple. Les $ a_{n}$ sont nuls, les $ b_{2k}$ aussi et les$ b_{2k+1}$ valent $ \dfrac{4}{\pi\left( 2k+1\right) }$.
Ainsi la série de Fourier est :

$\displaystyle S(g)(x)=\dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2k+1}\sin\left( 2k+1\right) x $

On s'intéresse ici aux sommes partielles :$ S_{2p+1}(g)(x)=\dfrac{4}{\pi}\displaystyle\sum_{k=0}^{p}\dfrac{1}{2k+1}\sin\left( 2k+1\right) x $
On voit sur la figure ci-desssous quelques sommes partielles de la série de Fourier de $ g$.

$\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[ width=2.9in ] {Fou-Disc-0} \\ $p=0$ \end{center}}$         $\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[ width=2.9in ] {Fou-Disc-2} \\ $p=2$ \end{center}}$$\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[ width=2.9in ] {Fou-Disc-4} \\ $p=4$ \end{center}}$         $\textstyle \parbox{2.9in}{\begin{center} \includegraphics[ width=2.9in ] {Fou-Disc-8} \\ $p=8$ \end{center}}$

On voit ici que la discontinuité entraîne une convergence beaucoup plus lente et qu'il faut un grand nombre d'harmoniques pour « recopier » avec précision le signal.

© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing