Chapitre 12 : Séries de Fourier

5 Petits compléments

Sous-sections

5 Petits compléments

5.1 Quelques valeurs utiles

On n'oubliera pas que pour $n\in\mathbb{Z}$ , $e^{in\pi}=\left( -1\right) ^{n},$ $e^{i\frac{\pi}{2}}=i$ , $\cos n\pi=\left( -1\right) ^{n}$ , $\sin n\pi=0$

5.2 Sommation de certaines séries numériques

Les série de Fourier permettent de calculer facilement la somme de certaines séries numériques.
On considère donc : $f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt\right)$ d'un coté et $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_{n}$ d'un autre. (cas de la période 2 $\pi$ )

Si les $u_{n}$ « ressemblent » aux $a_{n}$ ou aux $b_{n}$ . Alors, on obtient la somme en prenant une valeur particulière de .
Le plus souvent, on essaye $0,\pi,\dfrac{\pi}{2}$ ...
Si les $u_{n}$ « ressemblent » aux $a_{n}^{2}$ ou aux $b_{n}^{2}$ . (avec en plus un module s'ils ne sont pas réels)
Alors, on obtient la somme en utilisant la formule de Parseval.

5.3 Somme d'une série trigonométrique

On sait parfois que : $f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1} ^{+\infty}\left( a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t\right)$ , ce résultat ayant été acquis sans le théorème de Dirichlet. (On obtient parfois un tel résultat en utilisant des séries entières en $e^{i\omega t}$ et $e^{-i\omega t}$ .)

Si est continue, on a bien la série de Fourier de .
Si n'est pas continue, rien ne prouve qu'il s'agit de la série de Fourier de .
Pour arriver au résultat, l'énoncé vous guide ... On peut par exemple prouver que cette série trigonométrique peut s'intégrer terme à terme sur une période, ce qui revient à l'inversion de signes $\displaystyle\sum$ et $\displaystyle\int$ .
Alors l'orthogonalité des $\cos n\omega t$ et $\sin n\omega t$ permettra de conclure qu'on a bien la série de Fourier de .