Chapitre 13 : Fonctions de plusieurs variables : Différentiabilité

2 Fonctions $\mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ de Classe $\mathcal{C}^{2}$ , Dérivées Secondes

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2 Fonctions $\mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ de Classe $\mathcal{C}^{2}$ , Dérivées Secondes

2.1 Application de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{U}$

Définition : $f:\mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ , définie sur $\mathcal{U}$ , un ouvert de $\mathbb{R}^{p}$ , de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{U}$ , on dit que est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{U}$ $\Leftrightarrow$ les applications $\dfrac{\partial f}{\partial x_{1} }, \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}},\ldots, \dfrac{\partial f}{\partial x_{p} }$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{U}$ .
L'application $\dfrac{\partial}{\partial x_{j}}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)$ est la $j^{\grave{e}me}$ dérivée partielle de la $i^{\grave{e}me}$ dérivée partielle se note $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}$ .
Il y a donc à priori $p^{2}$ dérivées partielles secondes.

2.2 Théorème de Schwarz

On admettra ce théorème important.

Théorème : de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{U}\Rightarrow\forall i,j\in\left\{ 1,2,\ldots,p\right\}$ , $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}$ .

On dit que pour de classe $\mathcal{C}^{2}$ , les dérivées partielles secondes croisées sont égales.

2.3 Formule de Taylor-Young à l'ordre 2

Théorème : de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{U}$ , un ouvert de $\mathbb{R}^{p}$ , $u\in\mathcal{U}$ . Alors

$\displaystyle f\left( u+du\right)$	$\displaystyle =f\left( u\right) +\left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\lef... ... dx_{2}+\cdots+\dfrac{\partial f}{\partial x_{p}}\left( u\right) dx_{p}\right)$
	$\displaystyle \qquad +\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\lef... ...dx_{p}\right) ^{\left[ 2\right] }+o\left( \left\Vert du\right\Vert ^{2}\right)$

Avec, $^{\left[ 2\right] }$ qui est un pseudo-carré où, au lieu d'avoir des produits de dérivées partielles, on a des composées.

$\displaystyle \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\, dx_{1}+\dfrac{\partia... ...+\cdots+\dfrac{\partial f}{\partial x_{p}}\, dx_{p}\right) ^{\left[ 2\right] }$	$\displaystyle =\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\, dx_{j}\, dx_{i}$
	$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}\, dx_{i}... ...ant n}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\, \partial x_{i}}\, dx_{j}\, dx_{i}$

2.4 Extrémums d'une application de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{U}$

On va d'abord chercher une condition nécessaire d'existence d'un extrémum pour une application de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{U}$ .

Théorème : $f:\mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ , définie sur $\mathcal{U}$ , un ouvert de $\mathbb{R}^{p}$ , de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{U}$ , $u\in\mathcal{U}$ , en extrémum local de .
Alors, $df_{u}=0$ , c'est à dire : $\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\left( u\right) =\dfrac{\partial f}{\partia... ...left( u\right) =\cdots=\dfrac{\partial f}{\partial x_{p} }\left( u\right) =0$
Une condition nécessaire pour que de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathcal{U}$ , admette un extrémum est que toutes les dérivées partielles sont nulles.

Définition : Un point de $\mathcal{U}$ tel que toutes les dérivées partielles sont nulles est un point critique de .

Preuve. Si on a un extrémum, $f\left( u+du\right) -f\left( u\right) =A$ est de signe constant pour $\left\Vert du\right\Vert$ assez petit.
C'est à dire que : $A=\left( \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\left( u\right) dx_{1} +\dfrac{\pa... ...{\partial f}{\partial x_{p}}\left( u\right) dx_{p}\right) +o\left( du\right)$ est de signe constant.
Si la partie régulière est non nulle, pour $\left\Vert du\right\Vert$ assez petit, la quantité donnée est du signe de cette partie régulière.
Mais en changeant en , cette partie régulière est changée en son opposé. La quantité change donc de signe.
Ce qui prouve que la partie régulière est nulle :

$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\left( u\right) dx_{1}+\dfrac{\... ...ht) dx_{2}+\cdots+\dfrac{\partial f}{\partial x_{p}}\left( u\right) dx_{p}=0$

pour tous $\left( dx_{1},\, dx_{2},\ldots,\, dx_{p}\right)$ . Ce qui prouve que les $\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\left( u\right)$ sont tous nuls. $\qedsymbol$

Théorème : de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{U}$ , un ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ , $(x_{0},y_{0})\in\mathcal{U}$ , un point critique de . On pose :

$\displaystyle r=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x_{0}, y_{0}), \qquad ... ...0}, y_{0}), \qquad t=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x_{0}, y_{0})$

Si $s^{2}-rt<0\quad(x_{0}, y_{0})$ est un extrémum (minimum pour, maximum pour
Si $s^{2}-rt>0\quad(x_{0}, y_{0})$ est un col
Si $s^{2}-rt=0\quad$ on ne peut pas conclure, il faut chercher le signe de $f(x, y)-f(x_{0}, y_{0})$ au voisinage de $(x_{0}, y_{0})$ .

Preuve. On utilise la formule de Taylor-Young à l'ordre 2. On note $dx=\left( x-x_{0}\right)$ et $dy=\left( y-y_{0}\right)$ $f(x,\, y)-f(x_{0},\, y_{0}) =\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \, dx+\dfr... ...al f}{\partial y}\, dy\right) ^{\left[ 2\right] }+o\left( dx^{2}+dy^{2}\right)$ $\qquad=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}\, dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}\, dy\right) ^{\left[ 2\right] }+o\left( dx^{2}+dy^{2}\right)$ $\qquad=\dfrac{1}{2}\left( r\, dx^{2}+2s\,dx\, dy+t\, dy^{2}\right) +o\left( dx^{2}+dy^{2}\right)$ On pose : $\Delta=4\left( s^{2}-rt\right)$

Si $\Delta<0$ , $\left( r\, dx^{2}+2s\, dx\, dy+t\, dy^{2}\right)$ ne change strictement pas de signe, donc pour $\left( dx,\, dy\right)$ assez petit, $f(x, y)-f(x_{0}, y_{0})$ ne change pas de signe.
On a un bien un extrémum.
Si $\Delta>0$ , $\left( r\, dx^{2}+2s\, dxdy+t\, dy^{2}\right)$ change strictement de signe, donc pour $\left( dx,\, dy\right)$ assez petit, $f(x, y)-f(x_{0}, y_{0})$ change de signe.
On a ici un col.
Si $\Delta=0$ , tout dépend du signe de $o\left( dx^{2} +dy^{2}\right)$ lorsque $\left( r\, dx^{2}+2s\, dx\, dy+t\, dy^{2}\right)$ s'annule.
Comme on ne connait pas ce signe, on ne peut pas conclure.

$\qedsymbol$

En pratique, $z=f(x, y)\quad$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ .

On cherche les points critiques, qui vérifient : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \dfrac{\partial f}{\partial x}(... ...\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y)=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$
Les extrémums sont à chercher parmi les points critiques.
On calcule les expressions théoriques de , et .
En chaque point critique , on calcule
- Si $s^{2}-rt<0\quad(x_{0}, y_{0})$ est un extrémum (minimum pour, maximum pour
- Si $s^{2}-rt>0\quad(x_{0}, y_{0})$ est un col
- Si $s^{2}-rt=0\quad$ on ne peut pas conclure, il faut chercher le signe de $f(x, y)-f(x_{0}, y_{0})$ selon d'autres moyens.

Exemple : Cherchons sur $\mathbb{R}^{2}$ les extrémumx de $f:\left( x,y\right) \rightarrow x^{3}+y^{3}$ On cherche d'abord les points critiques. $\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}=0\Rightarrow x=0,\quad\dfrac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}=0\Rightarrow y=0$
Il n'y a qu'un seul point critique $\left( 0,0\right) .$ $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x=0=r$ en $\left( 0,0\right) ,\quad\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0=s$ en $\left( 0,0\right) ,\quad\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=6y=0=t$ en $\left( 0,0\right)$
En $\left( 0,0\right) ,$ $s^{2}-rt=0,$ le théorème ne permet pas de conclure.
Mais $f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) =x^{3}+y^{3}$ et $f\left( -x,-y\right) -f\left( 0,0\right) =-x^{3}-y^{3}$ expression de signe opposé.
Ainsi $f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right)$ change de signe au voisinage du point critique : $\left( 0,0\right)$ est un point col.

On va ici donner deux exemples sous forme de surfaces où $\left( 0,0\right)$ est un point critique, on a aussi représenté la fonction nulle qui donne un plan.
C'est la figureci-dessous. Les fonction étudiées sont respectivement

$x^{2}+y^{2}$ où , , , $s^{2}-rt=-4$

$x^{2}-y^{2}$ où , , , $s^{2}-rt=4$

$\textstyle \parbox{3.1272in}{\begin{center} \includegraphics[ trim=0.573332in... ... width=3.1272in ] {point-ballon} \\ Point ballon (minimum) \end{center}}$ $\textstyle \parbox{3.1289in}{\begin{center} \includegraphics[ trim=0.573332in... ...height=2.4751in, width=3.1289in ] {point-col} \\ Point col \end{center}}$

Chapitre 13 : Fonctions de plusieurs variables : Différentiabilité

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2.2 Théorème de Schwarz

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2.4 Extrémums d'une application de classe sur

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