Chapitre 13 : Fonctions de plusieurs variables : Différentiabilité

3 Fonctions $ \mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ de Classe $ \mathcal{C}^{k}$, Dérivées d'ordre supérieur

Sous-sections

3 Fonctions $ \mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ de Classe$ \mathcal{C}^{k}$, Dérivées d'ordre supérieur

3.1 Fonctions $ \mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ de Classe$ \mathcal{C}^{k}$ sur $ \mathcal{U}$ un ouvert de $ \mathbb{R}^{p}$

Définition :   $ f:\mathbb{R}^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ est de Classe $ \mathcal{C}^{k}$ sur$ \mathcal{U}$ un ouvert de $ \mathbb{R}^{p}$, avec $ k\geqslant1$,$ \Leftrightarrow f$ est de classe $ \mathcal{C}^{1}$ et toutes les dérivées partielles sont de classe $ \mathcal{C}^{k-1}$.

Le théorème de Schwarz appliqué un certain nombre de fois permet de calculer n'importe quelle dérivée partielle en dérivant dans n'importe quel ordre, dans la limite de $ k$ dérivations.

3.2 Algèbre $ \mathcal{C}^{k}\left( \mathcal{U},\mathbb{R}\right) $

Théorème :   $ \mathcal{C}^{k}\left( \mathcal{U},\mathbb{R}\right) $ a une structure d'algèbre commutative, sous algèbre de $ \mathcal{C}^{1}\left( \mathcal{U},\mathbb{R}\right) $.

Preuve. La démonstration est élémentaire. On a clairement la stabilité par combinaison linéaire, la stabilité par produit et la présence dans $ \mathcal{C}^{k}\left( \mathcal{U},\mathbb{R}\right) $ de l'application constante 1. $ \qedsymbol$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing