Définition : Soit , définie sur un ouvert de .
On dit que est de classe sur (les applications coordonnées de), sont de classe sur . est aussi une fonction .
Définition : Soit , de classe sur un ouvert de .
La différentielle de en , notée , est l'application linéaire :
Coordonnée par coordonnée, on a la différentielle de chaque en .
Définition : La matrice jacobienne de en est la matrice (dans la base canonique) de la différentielle de en .
Toutes les dérivées partielles étant prises en , la matrice jacobienne de en est :
Définition : Dans le cas où , le déterminant de la matrice jacobienne de en est appelé jacobien de en .
Théorème : est de classe sur et,
| ||
|
Preuve. On appelle et les composantes de et de .
On note et :
Ces composantes sont clairement de classe . Pour alléger les notations, on ne précise plus en quels points on prend ces dérivées partielles.
En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées, on a :
On reconnait bien sûr le produit de la ligne de la matrice jacobienne de par la colonne de la matrice jacobienne de .
Ce qui est bien l'élément ligne, colonne de la matrice jacobienne de .
Théorème :
La matrice jacobienne de en est l'inverse de la matrice jacobienne de en .
Preuve. On a : La matrice jacobienne de l'identité en tout point est .
D'où : ce qui donne le résultat.
Ceci prouve d'ailleurs au passage que, dans ces conditions, la matrice jacobienne est inversible.
Corollaire : Dans les mêmes conditions, le jacobien de en est l'inverse du jacobien de en .
Si on a , le jacobien de en se note .