Chapitre 13 : Fonctions de plusieurs variables : Différentiabilité

5 Fonction Vectorielle $ \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, classe $ \mathcal{C}^{1}$

Sous-sections

5 Fonction Vectorielle $ \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, classe $ \mathcal{C}^{1}$

5.1 Fonction de classe $ \mathcal{C}^{1}$

Définition :   Soit $ F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, définie sur$ \mathcal{U}$ un ouvert de $ \mathbb{R}^{n}$.
On dit que $ F$ est de classe$ \mathcal{C}^{1}$ sur $ \mathcal{U}$$ \Leftrightarrow\forall i\in\left\{ 1, 2,\ldots, p\right\} ,\quad f_{i} :\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$    (les applications coordonnées de$ F$), sont de classe $ \mathcal{C}^{1}$ sur $ \mathcal{U}$.\begin{displaymath}\forall j\in\left\{ 1, 2,\ldots, n\right\}:\quad\dfrac{\p... ... \dfrac{\partial f_{p}}{\partial x_{j}} \end{array} \right) \end{displaymath}     est aussi une fonction $ \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{p}$.

5.2 Différentielle d'une fonction de classe $ \mathcal{C}^{1}$, matrice jacobienne

Définition :   Soit $ F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, de classe $ \mathcal{C}^{1}$ sur $ \mathcal{U}$ un ouvert de $ \mathbb{R}^{n}$.
La différentielle de $ F$ en $ u$, notée $ dF_{u}$, est l'application linéaire :\begin{displaymath}dF_{u}:\left\{ \begin{array}[c]{rll} \mathbb{R}^{n} & \righ... ...rac{\partial F}{\partial x_{n}}\, dx_{n} \end{array} \right. \end{displaymath}

Coordonnée par coordonnée, on a la différentielle de chaque$ f_{i}$ en $ u$.

Définition :   La matrice jacobienne de $ F$ en $ u$ est la matrice (dans la base canonique) de la différentielle de $ F$ en $ u$.
Toutes les dérivées partielles étant prises en $ u$, la matrice jacobienne de $ F$ en $ u$ est :

\begin{displaymath} J_{F}\left( u\right) =\left( \begin{array}[c]{cccc} \dfra... ... \dfrac{\partial f_{p}}{\partial x_{n}} \end{array} \right) \end{displaymath}

5.3 Cas où $ F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, Jacobien

Définition :   Dans le cas où $ n=p$, le déterminant de la matrice jacobienne de $ F$ en $ u$ est appelé jacobien de $ F$ en $ u$.

5.4 Composée de fonctions de classe $ \mathcal{C}^{1}$

Théorème :   \begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\math... ... \subset\mathcal{V} \end{array} \right\} \Rightarrow G\circ F\end{displaymath} est de classe $ \mathcal{C}^{1}$ sur$ \mathcal{U}$ et,

$\displaystyle J_{G\circ F}$

$\displaystyle =J_{G}\times J_{F}$

   

$\displaystyle J_{G\circ F}\left( u\right)$

$\displaystyle =J_{G}\left( F\left( u\right) \right) \times J_{F}\left( u\right)$

   


Preuve. On appelle $ \left( f_{1},\ldots, f_{m}\right) $ et $ \left( g_{1} ,\ldots, g_{p}\right) $ les composantes de $ F$ et de $ G$.
On note $ u=\left( x_{1},\ldots, x_{n}\right) $ et :

$\displaystyle F\left( u\right)=\left( y_{1},\ldots, y_{m}\right) =\left( f_{... ..., x_{n}\right) ,\ldots, f_{m}\left( x_{1},\ldots, x_{n}\right) \right) $

\begin{displaymath} G\left( F\left( u\right) \right)=\left( \begin{array}[c]{c... ..._{p}\left( x_{1},\ldots, x_{n}\right) \end{array} \right) \end{displaymath}

Ces composantes sont clairement de classe $ \mathcal{C}^{1}$. Pour alléger les notations, on ne précise plus en quels points on prend ces dérivées partielles.
En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées, on a :

\begin{displaymath} \dfrac{\partial h_{i}}{\partial x_{j}}=\dfrac{\partial g_{i... ... \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{j}} \end{array} \right) \end{displaymath}

On reconnait bien sûr le produit de la $ i^{\grave{e}me}$ ligne de la matrice jacobienne de $ G$ par la $ j^{\grave{e}me}$ colonne de la matrice jacobienne de $ F$.
Ce qui est bien l'élément $ i^{\grave{e}me}$ ligne, $ j^{\grave{e}me}$ colonne de la matrice jacobienne de $ G\circ F$. $ \qedsymbol$

5.5 Fonction $ \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, classe$ \mathcal{C}^{1}$

Théorème :   \begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\math... ...-1}}\left( v\right) =\left( J_{F}\left( u\right) \right) ^{-1}\end{displaymath}
La matrice jacobienne de $ F^{-1}$ en $ v=F\left( u\right) $ est l'inverse de la matrice jacobienne de $ F$ en $ u$.

Preuve. On a :    $ F^{-1}\circ F=Id $ La matrice jacobienne de l'identité en tout point est $ I_{n}$.
D'où :    $ J_{F^{-1}}\left( v\right) \times J_{F}\left( u\right) =I_{n} $     ce qui donne le résultat.
Ceci prouve d'ailleurs au passage que, dans ces conditions, la matrice jacobienne est inversible. $ \qedsymbol$

Corollaire :   Dans les mêmes conditions, le jacobien de $ F^{-1}$ en $ v=F\left( u\right) $ est l'inverse du jacobien de $ F$ en $ u$.

Si on a $ \left( X, Y\right) =F\left( x, y\right) $, le jacobien de $ F$ en$ \left( x, y\right) $ se note $ \dfrac{D\left( X, Y\right) }{D\left( x, y\right) }$.

© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing