Définition : On appelle description hiérarchique du domaine une partie fermée bornée de l'existence de 2 réels et et de 2 applications continues sur , notées et tels que et , , avec
Ce qui peut s'illustrer par la figure ci-dessous.
On fera attention à ne pas commettre l'erreur du débutant qui cherche les bornes extrèmes pour les 2 variables independament les unes des autres, et transforme tous les domaines en rectangle...
Exemple : On va prendre le domaîne du plan défini par : .
Il est élémentaire de faire une figure de ce domaîne, qui est un triangle.
En travaillant sur cette figure, on obtient facilement une description hiérarchique :
Définition : continue sur , un fermé borné de , si on dispose d'une description hiérarchique de , on appelle intégrale double de sur
En un mot, on transforme cette intégrale double en 2 intégrales simples emboitées
Exemple : On va intégrer la fonction sur
On cherche d'abord une description hiérarchique du domaîne ce qui donne :
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Théorème : Si on a par ailleurs : avec et , , alors :
Ceci est illustré sur la figure ci-dessous.
On peut changer l'ordre d'intégration, le calcul est différent, mais le résultat est le même.
On va se placer dans un cas très particulier puisque : Le domaine est un rectangle.
Et d'autre part :
Alors, par linéarité des intégrales simples sur un intervalle :
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Ainsi, dans ce cas :
Théorème : continues sur , un fermé borné de , on dispose d'une description hiérarchique de . et deux réels.
Alors :
Théorème : continue, positive, sur , un fermé borné de , on dispose d'une description hiérarchique de .
Alors :
Théorème : continue, sur et , deux fermés bornés de, on dispose d'une description hiérarchique de et .
De plus est au plus une courbe. Alors :
Cela permet d'exploiter d'éventuelles symétries (de la fonction et du domaine).
Théorème : Si est continue et positive sur , avec, de plus, , alors :
Théorème : de classe , et deux ouverts de . et deux fermés bornés de , , et .
De plus .
On suppose que les points de qui ont plusieurs antécédants sont de surface nulle.
On note : , le jacobien de en , et, la valeur absolue du jacobien.
Alors :
Remarque : On notera la valeur absolue du jacobien et la pseudo-simplification.
On rappelle que :
Remarque : Notons qu'on fait un changement de variable :
Notons enfin que le domaine change et donc sa description hiérarchique aussi.
Théorème : On pose , et
La figure ci-dessous explicite les coordonnées polaires.
Preuve. En effet
Exemple : On va intégrer la fonction sur
On cherche d'abord une description hiérarchique du domaîne en polaires ce qui donne, compte tenu que
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