La courbe est l'ensemble des points ou tels que de coordonnées ou selon les cas, , un intervalle de .
Sur cet intervalle, on suppose au minimum que est continue.
Définition : , on dit que admet une tangente en la droite , avec , a une limite quand , c'est à dire quand.
Cette droite est alors la tangente à en .
On parlera éventuellement de demi-tangente si on a une limite à droite ou une limite à gauche.
Voir la figure ci-dessous.
Comme il y a, selon son orientation, deux vecteurs unitaires qui dirigent une droite, cela revient à ce que le vecteur unitaire admet une limite quand .
La tangente est alors la droite passant par et dirigée par ce vecteur.
Définition : Un point est régulier.
Définition : Un point non régulier est un point stationnaire.
Théorème : En un point régulier, la courbe admet une tangente dirigée par .
Preuve. On fait la démonstration pour une courbe plane, c'est exactement la même pour une courbe paramétrée de l'espace. a pour coordonnées :
Or
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Ce qui assure le résultat.
Théorème : un point stationnaire de , si est de classe suffisante au voisinage de , pour qu'il existe un vecteur dérivé non nul .
Alors, admet en une tangente ou des demi-tangentes.
Elles sont portées par ce premier vecteur dérivé non nul .
On note habituellement l'ordre de dérivation de ce vecteur.
Preuve. On travaille ici exactement de la même façon dans le plan ou dans l'espace.
On fait un développement limité de à l'ordre , en tenant compte du fait que les dérivées aux ordres inférieurs à sont nulles :
Ce qui permet d'avoir le résultat annoncé en calculant la limite de.
On appelle encore le rang de dérivation du premier vecteur dérivé non nul, , et le rang du premier vecteur dérivé non colinéaire à , sous réserve bien sûr que soit de classe suffisante. est ainsi une famille libre.
Définition : On dit que est birégulier
Dans tous les cas, on obtient l'allure locale de la courbe en faisant un développement limité à l'ordre de .
Dans la base , les coordonnées de sont équivalentes à et quand .
On travaille donc dans le repère , tout se décide alors suivant la parité de et .
La courbe est toujours tangente à , la parité de donne le signe de la coordonnée lorsque , la parité de donne dans ce cas le signe de la deuxième coordonnée.
Dans les figures suivantes, le repère tracé est : .
On peut voir sur la figure ci-dessous l'ensemble des cas.
Remarque : En un point birégulier, la concavité est tournée vers.
Remarque : quand elle existe, est toujours la pente de la tangente à la courbe au point considéré.
Remarque : Quand la pente de la tangente, donnée par ou par est nulle ou infinie, c'est à dire quand la tangente horizontale ou verticale, la recherche de est inutile puisque les variations de et permettent alors de déterminer le type de point.
Remarque : Un point d'inflexion géométrique vérifie toujours .
A la demande de l'énoncé, on recherchera les point d'inflexion parmi ceux qui ont cette propriété.
Exemple : On va faire l'étude locale de l'arc paramétré en On a ce qui donne et
est donc un point stationnaire.
De plus ce qui donne
Enfin, ce qui donne
On dit que admet une branche infinie quand ou tendent vers en ou .
Une hyperbole a ainsi 4 branches infinies.
et quand : on a une asymptote verticale d'équation
et quand : on a une asymptote horizontale d'équation
on a une branche parabolique de direction .
on a une branche parabolique de direction .
Exemple : On va faire l'étude locale de l'arc paramétré en et tendent tous deux vers en on a une branche infinie. et donc est direction asymptotique. et donc la droite est asymptote à la courbe en .
La courbe est donc au dessus de son asymptote.
Exemple : On va faire l'étude locale de l'arc paramétré quand et tendent tous deux vers en on a une branche infinie.
Quand on a une branche parabolique de direction