Chapitre 15 : Courbes

5 Trajectoires orthogonales d'une famille de courbes

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5 Trajectoires orthogonales d'une famille de courbes

5.1 Trajectoire orthogonale

Définition :   Soit $ \left( C_{\lambda}\right) _{\lambda\in J}$ une famille de courbes. On appelle trajectoire orthogonale de $ \left( C_{\lambda}\right) _{\lambda\in J}$ toute courbe $ \Gamma$ qui coupe chaque $ C_{\lambda}$ à angle droit.
En général il y a une famille $ \left( \Gamma_{\mu}\right) _{\mu\in K}$ de courbes qui conviennent.

5.2 Recherche des trajectoires orthogonales d'une famille de courbes paramétrées

Soit une famille de courbes $ \left( C_{\lambda}\right) _{\lambda\in J}$ telle que $ \left( t,\lambda\right) \rightarrow M\left( t,\lambda\right) $ soit de classe $ \mathcal{C}^{1}$ sur $ I\times J$.
On cherche les trajectoires orthogonales $ \Gamma$ de $ \left( C_{\lambda}\right) _{\lambda\in J}$ sous la forme $ t\rightarrow M\left( t,\lambda\left( t\right) \right) $ pour $ t\in I$.
C'est à dire avec $ \lambda$ dépendant de $ t$.
La tangente à $ C_{\lambda}$ en $ M\left( t,\lambda\right) $ est dirigée par $ \dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial t}$, tandis que, la tangente à $ \Gamma$ en $ M\left( t,\lambda\left( t\right) \right) $, qui est le même point, est dirigée par $ \dfrac{\overrightarrow {\partial M}}{\partial t}+\lambda^{\prime}\left( t\right) \dfrac {\overrightarrow{\partial M}}{\partial\lambda}$.
On a donc

$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial t}\cdot\left( \dfrac... ...eft( t\right) \dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial\lambda}\right) =0 $

c'est à dire :

$\displaystyle \left\Vert \dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial t}\right\Vert ^{2} +\lambda^{\prime}\left( t\right)$    $\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{\partial M} }{\partial t}\cdot\dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial\lambda}=0 $

On résout cette équation différentielle (en général non linéaire !) du premier ordre en $ \lambda$ pour obtenir une famille $ \left( \Gamma_{\mu}\right) _{\mu\in K}$ de courbes, trajectoires orthogonales des $ \left( C_{\lambda}\right) _{\lambda\in J}$.

Exemple :   Trajectoire orthogonales des hyperboles d'équation $ xy=\lambda$,$ \lambda\in\mathbb{R}$. La figure ci-dessous montre une trajectoire orthogonale d'une famille de courbes.

\includegraphics[width=4in,height=4in]{Traj-Ortho}


On paramètre ces hyperboles \begin{displaymath}M:\left\{ \begin{array}[c]{c} x=t\\ y=\dfrac{\lambda}{t} \end{array} \right. \end{displaymath}, \begin{displaymath}\dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial t}:\left\{ \beg... ...ay}[c]{c} 1\\ -\dfrac{\lambda}{t^{2}} \end{array} \right. \end{displaymath}, \begin{displaymath}\dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial\lambda}:\left\{ \begin{array}[c]{c} 0\\ \dfrac{1}{t} \end{array} \right. \end{displaymath}
On cherche $ \lambda$ sous la forme $ \lambda\left( t\right) $

$\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial t}\cdot\left( \dfrac... ...me}\left( t\right) \dfrac{\overrightarrow{\partial M}}{\partial\lambda}\right)$

$\displaystyle =\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ -\dfrac{\lambda}{t^{2}} \end... ...) \left( \begin{array}[c]{c} 0\\ \dfrac{1}{t} \end{array} \right) \right)$

   

 

$\displaystyle =1+\dfrac{\lambda^{2}}{t^{4}}-\dfrac{\lambda\lambda^{\prime}}{t^{3}}=0$

   


On pose $ u=\lambda^{2}$, on obtient :

$\displaystyle 1+\dfrac{u}{t^{4}}-\dfrac{u^{\prime}}{2t^{3}}=0 $

qui est linéaire du premier ordre. $ u=kt^{2}$ est solution de l'équation homogène associée.
On cherche la solution générale par variation de la constante.

$\displaystyle u$

$\displaystyle =kt^{2}$

   

$\displaystyle u^{\prime}$

$\displaystyle =k^{\prime}t^{2}+2kt$

   

$\displaystyle 1+\dfrac{u}{t^{4}}-\dfrac{u^{\prime}}{2t^{3}}$

$\displaystyle =1+\dfrac{k}{t^{2}} -\dfrac{k^{\prime}}{2t}-\dfrac{k}{t^{2}}=1-\dfrac{k^{\prime}}{2t}=0$

   

$\displaystyle k^{\prime}$

$\displaystyle =2t$

   

$\displaystyle k$

$\displaystyle =t^{2}+\mathcal{\mu}$

   

$\displaystyle u$

$\displaystyle =\left( t^{2}+\mathcal{\mu}\right) t^{2}=\lambda^{2}$

   

$\displaystyle \lambda$

$\displaystyle =\pm t\sqrt{t^{2}+\mathcal{\mu}}$

   

$\displaystyle \left. \begin{array}[c]{r} x=t\\ y=\pm\sqrt{t^{2}+\mathcal{\mu}} \end{array} \right\}$

$\displaystyle \Leftrightarrow y^{2}-x^{2}=\mathcal{\mu}$

   


On obtient un autre réseau d'hyperboles.


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing