Chapitre 17 : Cylindres, Cônes et Surface de Révolution

2 Cônes

Sous-sections


2 Cônes

2.1 Cône

Définition :   Une cône de sommet $ \Omega$ est formée d'une famille de droites passant par $ \Omega$. Ces droites sont les génératrices du cône.
Une courbe qui rencontre toutes les génératrices est unedirectrice.

La figure ci-dessous montre des exemples de « cônes ».

\includegraphics[

Remarque :   Un cône n'est pas, en général, un cône de révolution!

Définition :   Si $ \mathcal{S}$ est une surface, l'ensemble des points $ M$ de $ \mathcal{S}$ tels que le plan tangent à $ \mathcal{S}$ en $ M$ contient$ \Omega$ est le contour apparent de $ \mathcal{S}$ vu de $ \Omega$.
Le cône de sommet $ \Omega$ et de directrice ce contour apparent est le cône circonscrit à $ \mathcal{S}$ vu de $ \Omega$.

2.2 Equation polynomiale d'un cône de sommet $ O$

Théorème :   Une surface dont léquation cartésienne est un polynôme en $ x,y,z$ est un cône de sommet $ O$ si et seulement si tous les monômes sont de même degré (en degré cumulé en $ x,y,z$).

Preuve.$ \mathcal{S}$ d'équation $ F\left( x,\, y,\,z\right) =0$, alors $ \forall \lambda\in\mathbb{R},\, F\left( \lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z\right) =0$, ce qui prouve que $ F$ est de degré homogène en $ x,y,z$. $ \qedsymbol$

2.3 Plan tangent le long d'une génératrice

Théorème :   Le plan tangent à un cône, le long d'une génératrice, sauf au sommet, est invariant.

Preuve. Quitte à changer de repère, on prend un cône de sommet $ O$. On a une directrice \begin{displaymath}\Gamma:\left\{ \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( t\right) \\ z\left( t\right) \end{array} \right. \end{displaymath}, $ t\in I$,     le cône en paramétrique est donc \begin{displaymath}:\left\{ \begin{array}[c]{c} X=\lambda\text{ }x\left( t\rig... ...) \\ Z=\lambda\text{ }z\left( t\right) \end{array} \right. \end{displaymath}, $ t\in I,\lambda\in\mathbb{R}$.
Le plan tangent le long de cette génératrice (si seul $ \lambda$ varie) est donc normal à :    \begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( ... ...lambda\text{ }z^{\prime}\left( t\right) \end{array} \right) \end{displaymath}     comme $ \lambda\neq0$, normal à :    \begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( ... ...t\right) \\ z^{\prime}\left( t\right) \end{array} \right) \end{displaymath}     qui ne contient plus $ \lambda$.
Comme de plus, tous ces plans tangents contiennent cette génératrice, ils sont confondus. $ \qedsymbol$

2.4 Equation d'un cône de sommet et directrice donnés

On va chercher l'équation d'un cône $ \Sigma$ de sommet $ \Omega$ et de directrice $ \Gamma $ donnés.

\includegraphics[

Remarque :   Dans le cas où $ \Gamma $ est définie en paramétriques\begin{displaymath}\Gamma:\left\{ \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( t\right) \\ z\left( t\right) \end{array} \right. t\in I\end{displaymath}, on peut aussi paramétrer la droite de direction passant par un point de $ \Gamma $ et $ \Omega$, on obtient :\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \r... ...\lambda\left( z\left( t\right) -c\right) \end{array} \right. \end{displaymath}
Par rapport à la méthode précédente, cela revient à changer $ \lambda$ et $ \dfrac{1}{\lambda}$.
On a encore directement une représentation en nappe paramétrée.

Exemple :   On cherche une équation cartésienne du cône $ \Sigma$ de sommet\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{l} 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath} et de directrice définie par \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\\ x+y+z=1 \end{array} \right. \end{displaymath}.
On a donc \begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \r... ...ght) \right) +\left( \lambda Z\right) =1 \end{array} \right. \end{displaymath}.
On réécrit ce système \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \lambda^{2}\left( \left( X-1\ri... ...\right) +\left( Y-1\right) +Z\right) =-1 \end{array} \right. \end{displaymath}.
On multiplie la première équation par $ \left( \left( X-1\right) +\left( Y-1\right) +Z\right) ^{2}$ et on remplace $ \lambda\left( \left( X-1\right) +\left( Y-1\right) +Z\right) $ par $ -1$.
On obtient $ \left( \left( X-1\right) ^{2}+\left( Y-1\right) ^{2} +Z^{2}\right) -2\left( \... ...t( Y-1\right) +Z\right) \left( \left( X-1\right) +\left( Y-1\right) \right) =2$.
Ceci est l'équation d'un cône $ \Sigma^{\prime}$ qui contient le cône cherché.

2.5 Recherche du contour apparent

On cherche le concout apparent de la surface $ \mathcal{S}$ d'équation $ F(x,y,z)=0$ vu du point\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}.
Pour cela, on écrit que le gradient de $ F$ en un point $ P$ de $ \mathcal{S}$ est normal au vecteur$ \overrightarrow{\Omega M}$.
Le contour apparent est donc donné par intersection de surfaces :

$\displaystyle F\left( x,y,z\right)$

$\displaystyle =0$

   

$\displaystyle \left( x-a\right) \dfrac{\partial F}{\partial x}\left( x,y,z\righ... ...,z\right) +\left( z-c\right) \dfrac{\partial F}{\partial z}\left( x,y,z\right)$

$\displaystyle =0$

   


2.6 Equation d'un cône circonscrit à une surface

Il suffit de rechercher le contour apparent, puis de rechercher le cône de sommet donné et de directrice ce contour apparent.

Exemple :   On cherche une équation cartésienne du cône $ \Sigma$ de sommet\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{l} 1\\ 2\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath} et circonscrit à la surface $ \mathcal{S}$ définie par$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
Le contour apparent est donné par : \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^2+y^2+z^2=1\\ 2x(x-1)+2y(y-2)+2z^2=0 \end{array} \right. \end{displaymath}.
On réécrit ce système : \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^2+y^2+z^2=1\\ 1-x-2y=0 \end{array} \right. \end{displaymath}.
On a donc \begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \r... ... 1-(1+\lambda(X-1))-2(2+\lambda(Y-2))=0 \end{array} \right. \end{displaymath}.
Système qu'on réécrit : \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \lambda^{2}\left( \left( X-1\ri... ...\right) + 2 \left( Y-2\right) \right)=-4 \end{array} \right. \end{displaymath}.
On multiplie la première par $ \left( \left( X-1\right) +2 \left( Y-2\right) \right) ^2 $ et on remplace $ \lambda\left( \left( X-1\right) + 2 \left( Y-2\right) \right)$ par $ -4$.
Ceci donne, après simplification par -4 :$ \left( \left( X-1\right) +2\left( Y-2\right) \right) ^{2}+4\left( \left( X-1\r... ...ft( Y-2\right) \right) \left( \left( X-1\right) +2\left( Y-2\right) \right) =0$.
Ou encore : $ -\left( \left( X-1\right) +2\left( Y-2\right) \right) ^{2}+4\left( \left( X-1\right) ^{2}+\left( Y-2\right) ^{2}+Z^{2}\right) =0$.
Ceci est l'équation d'un cône $ \Sigma^{\prime}$ qui contient le cône cherché.



© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing