Chapitre 17 : Cylindres, Cônes et Surface de Révolution

2 Cônes

Sous-sections

2 Cônes

2.1 Cône

Définition : Une cône de sommet $\Omega$ est formée d'une famille de droites passant par $\Omega$ . Ces droites sont les génératrices du cône.
Une courbe qui rencontre toutes les génératrices est unedirectrice.

La figure ci-dessous montre des exemples de « cônes ».

$\includegraphics[$

Remarque : Un cône n'est pas, en général, un cône de révolution!

Définition : Si $\mathcal{S}$ est une surface, l'ensemble des points de $\mathcal{S}$ tels que le plan tangent à $\mathcal{S}$ en contient $\Omega$ est le contour apparent de $\mathcal{S}$ vu de $\Omega$ .
Le cône de sommet $\Omega$ et de directrice ce contour apparent est le cône circonscrit à $\mathcal{S}$ vu de $\Omega$ .

2.2 Equation polynomiale d'un cône de sommet

Théorème : Une surface dont léquation cartésienne est un polynôme en est un cône de sommet si et seulement si tous les monômes sont de même degré (en degré cumulé en ).

Preuve. $\mathcal{S}$ d'équation $F\left( x,\, y,\,z\right) =0$ , alors $\forall \lambda\in\mathbb{R},\, F\left( \lambda x,\,\lambda y,\,\lambda z\right) =0$ , ce qui prouve que est de degré homogène en . $\qedsymbol$

2.3 Plan tangent le long d'une génératrice

Théorème : Le plan tangent à un cône, le long d'une génératrice, sauf au sommet, est invariant.

Preuve. Quitte à changer de repère, on prend un cône de sommet . On a une directrice $\begin{displaymath}\Gamma:\left\{ \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( t\right) \\ z\left( t\right) \end{array} \right. \end{displaymath}$ , $t\in I$ , le cône en paramétrique est donc $\begin{displaymath}:\left\{ \begin{array}[c]{c} X=\lambda\text{ }x\left( t\rig... ...) \\ Z=\lambda\text{ }z\left( t\right) \end{array} \right. \end{displaymath}$ , $t\in I,\lambda\in\mathbb{R}$ .
Le plan tangent le long de cette génératrice (si seul $\lambda$ varie) est donc normal à : $\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( ... ...lambda\text{ }z^{\prime}\left( t\right) \end{array} \right) \end{displaymath}$ comme $\lambda\neq0$ , normal à : $\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( ... ...t\right) \\ z^{\prime}\left( t\right) \end{array} \right) \end{displaymath}$ qui ne contient plus $\lambda$ .
Comme de plus, tous ces plans tangents contiennent cette génératrice, ils sont confondus. $\qedsymbol$

2.4 Equation d'un cône de sommet et directrice donnés

On va chercher l'équation d'un cône $\Sigma$ de sommet $\Omega$ et de directrice $\Gamma$ donnés.

Faire une figure symbolique comme la figure ci-dessous.

$\includegraphics[$

Partir d'un point quelconque du cône $\Sigma^{\ast}$ cherché $\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \right) \end{displaymath}$ . ( $\Sigma^{\ast}$ est le cône épointé, c'est à dire privé de son sommet $\Omega$ ).
Ecrire que la droite (décrite en paramétrique) rencontre :
Pour cela, on a en pratique deux cas selon que est donné en paramétriques ou par intersection de surfaces.
- Si $\Gamma$ est donné en paramétriques. On a $\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}$ , et $\begin{displaymath}\Gamma:\left\{ \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( t\right) \\ z\left( t\right) \end{array} \right. t\in I\end{displaymath}$
  $\begin{displaymath} M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} ... ...t( t\right) =c+\lambda\left( Z-c\right) \end{array} \right. \end{displaymath}$
  On a pratiquement directement une représentation en nappe paramé trée de $\Sigma$ , pour obtenir une équation cartésienne, on élimine $\lambda$ et entre ces deux équations, on obtient l'équation d'un cône $\Sigma^{\prime}$ qui contient le cône cherché. Vérifier que $\Omega\in\Sigma^{\prime}$ .
- Si $\Gamma$ est donné par intersection de surfaces. On a $\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}$ , et $\begin{displaymath}\Gamma:\left\{ \begin{array}[c]{c} F\left( x,y,z\right) =0\\ G\left( x,y,z\right) =0 \end{array} \right. \end{displaymath}$
  $\begin{displaymath} M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} ... ... ,c+\lambda\left( Z-c\right) \right) =0 \end{array} \right. \end{displaymath}$
  On élimine le paramètre $\lambda$ , on obtient l'équation d'un cône $\Sigma^{\prime}$ qui contient $\Sigma$ le cône cherché.
  Vérifier que $\Omega\in\Sigma^{\prime}$ .

Remarque : Dans le cas où $\Gamma$ est définie en paramétriques $\begin{displaymath}\Gamma:\left\{ \begin{array}[c]{c} x\left( t\right) \\ y\left( t\right) \\ z\left( t\right) \end{array} \right. t\in I\end{displaymath}$ , on peut aussi paramétrer la droite de direction passant par un point de $\Gamma$ et $\Omega$ , on obtient : $\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \r... ...\lambda\left( z\left( t\right) -c\right) \end{array} \right. \end{displaymath}$
Par rapport à la méthode précédente, cela revient à changer $\lambda$ et $\dfrac{1}{\lambda}$ .
On a encore directement une représentation en nappe paramétrée.

Exemple : On cherche une équation cartésienne du cône $\Sigma$ de sommet $\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{l} 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ et de directrice définie par $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\\ x+y+z=1 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
On a donc $\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \r... ...ght) \right) +\left( \lambda Z\right) =1 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
On réécrit ce système $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \lambda^{2}\left( \left( X-1\ri... ...\right) +\left( Y-1\right) +Z\right) =-1 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
On multiplie la première équation par $\left( \left( X-1\right) +\left( Y-1\right) +Z\right) ^{2}$ et on remplace $\lambda\left( \left( X-1\right) +\left( Y-1\right) +Z\right)$ par .
On obtient $\left( \left( X-1\right) ^{2}+\left( Y-1\right) ^{2} +Z^{2}\right) -2\left( \... ...t( Y-1\right) +Z\right) \left( \left( X-1\right) +\left( Y-1\right) \right) =2$ .
Ceci est l'équation d'un cône $\Sigma^{\prime}$ qui contient le cône cherché.

2.5 Recherche du contour apparent

On cherche le concout apparent de la surface $\mathcal{S}$ d'équation vu du point $\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
Pour cela, on écrit que le gradient de en un point de $\mathcal{S}$ est normal au vecteur $\overrightarrow{\Omega M}$ .
Le contour apparent est donc donné par intersection de surfaces :

$\displaystyle F\left( x,y,z\right)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \left( x-a\right) \dfrac{\partial F}{\partial x}\left( x,y,z\righ... ...,z\right) +\left( z-c\right) \dfrac{\partial F}{\partial z}\left( x,y,z\right)$	$\displaystyle =0$

2.6 Equation d'un cône circonscrit à une surface

Il suffit de rechercher le contour apparent, puis de rechercher le cône de sommet donné et de directrice ce contour apparent.

Exemple : On cherche une équation cartésienne du cône $\Sigma$ de sommet $\begin{displaymath}\Omega:\left( \begin{array}[c]{l} 1\\ 2\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ et circonscrit à la surface $\mathcal{S}$ définie par $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ .
Le contour apparent est donné par : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^2+y^2+z^2=1\\ 2x(x-1)+2y(y-2)+2z^2=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
On réécrit ce système : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^2+y^2+z^2=1\\ 1-x-2y=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
On a donc $\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \r... ... 1-(1+\lambda(X-1))-2(2+\lambda(Y-2))=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
Système qu'on réécrit : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \lambda^{2}\left( \left( X-1\ri... ...\right) + 2 \left( Y-2\right) \right)=-4 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
On multiplie la première par $\left( \left( X-1\right) +2 \left( Y-2\right) \right) ^2$ et on remplace $\lambda\left( \left( X-1\right) + 2 \left( Y-2\right) \right)$ par .
Ceci donne, après simplification par -4 : $\left( \left( X-1\right) +2\left( Y-2\right) \right) ^{2}+4\left( \left( X-1\r... ...ft( Y-2\right) \right) \left( \left( X-1\right) +2\left( Y-2\right) \right) =0$ .
Ou encore : $-\left( \left( X-1\right) +2\left( Y-2\right) \right) ^{2}+4\left( \left( X-1\right) ^{2}+\left( Y-2\right) ^{2}+Z^{2}\right) =0$ .
Ceci est l'équation d'un cône $\Sigma^{\prime}$ qui contient le cône cherché.