Chapitre 17 : Cylindres, Cônes et Surface de Révolution

3 Surfaces de Révolution

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3 Surfaces de Révolution

3.1 Surface de révolution d'axe $ \Delta $

Définition :   $ \Delta $ une droite de l'espace. Un cercle de l'espace est d'axe \begin{displaymath}\Delta\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} \text{son ... ...e} dans un plan orthogonal \\lq {a} }\Delta \end{array} \right. \end{displaymath}

Définition :   Une surface de révolution d'axe $ \Delta $ est formée d'une famille de cercles d'axe $ \Delta $ Un plan contenant l'axe de révolution est un plan méridien, son intersection avec la surface est une méridienne.

La méridienne est symétrique par rapport à l'axe de ré volution. On parle donc parfois de demi-méridienne.
Une surface de révolution est donc engendrée par la rotation d'une méridienne ou d'une demi-méridienne autour de l'axe de révolution.

3.2 Equation cartésienne d'une surface de révolution d'axe$ \Delta $

Théorème :   Une surface est de révolution d'axe $ Oz\Leftrightarrow$ elle a une équation de la forme

$\displaystyle F(x^{2}+y^{2},z)=0 $

Preuve.$ xOz$ est un plan méridien. La méridienne est symétrique par rapport à $ Oz$. Elle est donc d'équation $ F(x^{2},z)=0$.
L'équation en coordonnées cylindriques est donc $ F(\rho^{2},z)=0$.
On obtient donc en coordonnées cartésiennes $ F(x^{2}+y^{2},z)=0$. $ \qedsymbol$

Théorème :   Une surface de révolution $ \Sigma$ d'axe $ \Delta $ a une équation de la forme :    $ F(S,P)=0 $ avec     \begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{l} S\left( x,y,z\right) =R^{2}\q... ...=k\quad\text{l'\'{e}quation d'un plan.} \end{array} \right. \end{displaymath}
L'axe de révolution $ \Delta $ est orthogonal à $ P$ et passe par le centre de $ S$.

Preuve. Dans un repère orthonormal centré sur $ \Omega\in\Delta$, tel que$ \overrightarrow{K}$ est dans la direction de $ \Delta $, $ \Sigma$ a une équation de la forme :     $ F_{1}\left( X^{2}+Y^{2},Z\right) =0 $    
Ou encore :     $ F\left( X^{2}+Y^{2}+Z^{2},Z\right) =0 $ Or, en utilisant le produit scalaire et la norme :     $ \overrightarrow{K}=\alpha\overrightarrow{i}+\beta\overrightarrow{j} +\gamma\overrightarrow{k} $
On obtient : $ Z=\alpha\left( x-a\right) +\beta\left( y-b\right) +\gamma\left( z-c\right) $ et $ X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}+\left( z-c\right) ^{2}$
Ce qui donne le résultat. $ \qedsymbol$

3.3 Equation d'une surface de révolution engendrée par la rotation d'une demi-méridienne autour de $ Oz$

Il s'agit de rechercher l'équation d'une surface de révolution d'axe$ 0z$ dont on connait une demi-méridienne ou une méridienne.
Si on a une demi-méridienne dans le plan $ xOz$, elle est d'équation :     $ f\left( x,z\right) =0 $
En complétant par symétrie, la méridienne complète est d'équation :     $ f\left( x,z\right) f\left( -x,z\right) =0 $
Ce qu'on réécrit :     $ F\left( x^{2},z\right) =0 $
Alors la surface de révolution est simplement d'équation :     $ F\left( x^{2}+y^{2},z\right) =0 $
Pour cela, on utilise simplement les coordonnées cylindriques.

Exemple :   On va chercher l'équation du tore de révolution engendré par la rotation du cercle du plan $ xOz$ d'équation $ \left( x-2\right) ^{2}+z^{2}=1$ autour de $ Oz$.
Ce cercle est une demi-méridienne, l'autre demi-méridienne est d'équation $ \left( x-2\right) ^{2}+z^{2}=1$, et donc la méridienne :$ \left( \left( x-2\right) ^{2}+z^{2}-1\right) \left( \left( x+2\right) ^{2}+z^{2}-1\right) =0$.
Ce qu'on réécrit : $ \left( x^{2}-4\right) ^{2}+2\left( z^{2}-1\right) \left( x^{2}+4\right) +\left( z^{2}-1\right) ^{2}=0$.
Il suffit alors de remplacer $ x^{2}$ par $ x^{2}+y^{2}$ et on obtient : $ \left( x^{2}+y^{2}-4\right) ^{2}+2\left( z^{2}-1\right) \left( x^{2} +y^{2}+4\right) +\left( z^{2}-1\right) ^{2}=0$.

3.4 Equation d'une surface engendrée par la rotation de $ \Gamma $ autour de $ \Delta $

On recherche ici l'équation d'une surface de révolution $ \Sigma$ engendrée par la rotation de $ \Gamma $ autour de $ \Delta $. on traite ici le cas général.

\includegraphics[

Exemple :   On va chercher l'équation de la surface de révolution $ \Sigma$ engendrée par la rotation de la courbe \begin{displaymath}\Gamma:\left\{ \begin{array}[c]{l} x=t\\ y=t^{2}\\ z=1+t \end{array} \right. \end{displaymath} autour de l'axe $ \Delta $ passant par $ O$ et de vecteur directeur\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{l} 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath}.
Soit \begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right) \end{displaymath} appartenant à la surface, Le cercle d'axe $ \Delta $ passant par$ M$, le plan passant par $ M$ et perpendiculaire à $ \Delta $, et $ \Gamma $ ont un point commun.
Ce qui donne, compte tenu qu'on remplace le cercle par la sphère de centre $ O$ passant par \begin{displaymath}M:\exists t\in\mathbb{R}:\left\{ \begin{array}[c]{l} t^{2}+... ...) ^{2}=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\\ t+t^{2}=X+Y \end{array} \right. \end{displaymath}.
On sort $ t^{2}=X+Y-t$ de la seconde équation, on le plonge dans la première, ce qui donne : $ 1+2t+2\left( X+Y-t\right) +\left( X+Y-t\right) ^{2} =X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$ puis $ 1+2\left( X+Y\right) +\left( X+Y\right) ^{2}-2t\left( X+Y\right) =X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$.
On a ainsi : \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} 2t\left( X+Y\right) =1+2\left( ... ...^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) \\ t+t^{2}=X+Y \end{array} \right. \end{displaymath}.
On multiplie la deuxième par $ 4\left( X+Y\right) ^{2}$ et on remplace en utilisant la première :$ 2\left( X+Y\right) \left( 1+2\left( X+Y\right) +\left( X+Y\right) ^{2}-\left(... ...+Y\right) +\left( X+Y\right) ^{2}-\left( X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) \right) ^{2}$$ =X+Y$.
On obtient l'équation d'une surface qui contient la surface de révolution cherchée.


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing