Chapitre 18 : Quadriques

2 Identification d'une quadrique

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2 Identification d'une quadrique

On part d'un polynôme quelconque du second degré en $x,\; y$ et :

$\displaystyle \mathcal{Q}:\underbrace{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2dxy+2exz+2fyz}_{For... ...ext{ }Quadratique}+\underbrace{gx+hy+iz}_{Forme\text{ }Lin\acute{e}aire}+j=0$

2.1 Réduction de la forme quadratique

Il faut réduire la forme quadratique dans le cas où il y a des termes en , ou .
Sinon, on va directement au paragraphe suivant (transformation de la forme linéaire).

On repère la forme quadratique formée des termes du second degré :
$\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2dxy+2exz+2fyz$
On considère sa matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} a & d & e\\ d & b & f\\ e & f & c \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ qu'on diagonalise dans une base orthonormale directe de vecteurs propres, avec la matrice de passage et $\lambda$ , $\mu$ et $\nu$ les trois valeurs propres.
Cela revient à faire une rotation du repère.
Alors : $ax^{2}+2bxy+2cxz+dy^{2}+2eyz+fz^{2} =\lambda X^{2}+\mu Y^{2}+\nu Z^{2}$ avec $\begin{displaymath}\quad\left($

Remarque : Si on a deux valeurs propres égales non nulles, la quadrique est de révolution.

2.2 Transformation de la forme linéaire

La relation précédente : $\begin{displaymath}$ permet de transformer la forme linéaire.
On obtient alors l'équation de la quadrique dans un nouveau repère qui a subi une rotation par rapport au repère de départ.

2.3 Réduction finale

Dans ce cas, il n'y a plus de termes ni en , ni en ni en , $\left( \text{ni en }XY...\right)$ .

Avaler si possible les termes en , et en $\left( \text{ou }X,Y,Z\right)$ dans des carrés correspondants par une transformation du type : $x^{2}+ax=\left( x+\dfrac{a}{2}\right) ^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}$
Cela revient à faire une translation de l'origine du repère.
Se ramener ensuite à une des formes canoniques décrites, en avalant au besoin dans le cas des paraboloïdes la constante dans le terme correspondant à la valeur propre nulle.
C'est alors une nouvelle translation du repère.
- On trouve des paraboloïdes elliptiques et hyperboliques, hyperboloïdes à 1 ou 2 nappes et ellipsoïdes (ou sphères),
- mais aussi des quadriques dégénérées: cylindres, cônes, ..., point, vide.

2.4 Exemple

On va chercher à identifier la quadrique d'équation . Pour éviter les fractions dans la matrice, on écrit : .
La forme quadratique est : de matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ qui a pour polynôme caractéristique : $-\lambda^{3} +\lambda=0$ .
Les valeurs propres sont 0, et toutes simples.
La forme linéaire est non nulle, on a besoin de la matrice de passage (orthogonale). $\begin{displaymath}P=\left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \d... ...{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ convient, l'ordre des vecteurs correspondant à l'ordre annoncé des valeurs propres.
Dans cette nouvelle base, $-2xy=Y^{2}-Z^{2}$ .
La forme linéaire est et $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} x\\ y\\ z \end{array} \rig... ...eft( \begin{array}[c]{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right) \end{displaymath}$ soit .
L'équation dans la nouvelle base est donc $2X+Y^{2}-Z^{2}=2$ ou encore $Z^{2}-Y^{2}=2\left( X-1\right) =2X^{\prime}$ par une translation du repère.
On a un paraboloïde hyperbolique.

2.5 Classification selon les valeurs propres

Remarque : Si on a 2 valeurs propres égales non nulles, la quadrique est de révolution.

3 valeurs propres strictement de même signe, on a :
- un ellipsoïde,
- un point,
- le vide.
2 valeurs propres strictement de même signe et une nulle, on a :
- un paraboloïde elliptique,
- un cylindre elliptique,
- une droite ou le vide.
2 valeurs propres strictement de signes différents et une nulle, on a :
- un paraboloïde hyperbolique,
- un cylindre hyperbolique,
- 2 plans sécants.
2 valeurs propres strictement d'un signe, la troisième strictement de l'autre, on a :
- un hyperboloïde à une ou deux nappes,
- un cône.
une valeur propre non nulle et 0 valeur propre double, on a :
- un cylindre parabolique,
- 2 plans parallèles, un plan ou le vide.

Remarque : Si une des variables est absente, c'est un cylindre.

2.6 Identification géométrique

En récapitulant ce qu'on vient de voir, on peut déterminer les intersections possibles des quadriques avec un plan quelconque ou avec un plan tangent.
On peut aussi voir celles qui ont un centre de symétrie et celles qui peuvent être de révolution.

	E	PE	PH	H1	H2
Ellipse	$\times$	$\times$		$\times$	$\times$
Parabole		$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
Hyperbole			$\times$	$\times$	$\times$
Vide	$\times$	$\times$			$\times$
Plan tangent : deux droites, tout point est en col			$\times$	$\times$
Plan tangent : un point, tout point est en ballon	$\times$	$\times$			$\times$
Il y a un centre de symétrie	$\times$			$\times$	$\times$
Peut être de révolution	$\times$	$\times$		$\times$	$\times$