Chapitre 19 : Isométries Affines du Plan et de l'Espace

Dans tout le chapitre,

désigne un espace vectoriel euclidien de dimension 2 ou 3, muni d'une base orthonormale directe, notée : $\left( \overrightarrow {i},\overrightarrow{j}\right)$ ou $\left( \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ selon les cas. $\mathcal{E}$ désigne un espace affine euclidien de dimension 2 ou 3, muni d'un repère orthonormal direct, noté $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow {j}\right)$ ou $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k}\right)$ selon les cas.
On dira que

est l'espace vectoriel sous-jacent à $\mathcal{E}$ .
En général, on note $M^{\prime}$ l'image d'un point

par une application affine.
De même, si $\Delta$ est une droite affine, sa direction $\overrightarrow {\Delta}$ est la droite vectorielle associée, c'est à dire l'ensemble des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ avec

appartenant à $\Delta$ .
De même également avec $\Pi$ un plan affine et $\overrightarrow{\Pi}$ le plan vectoriel associé, toujours appelé sa direction.

Définition : Si $\mathcal{E}$ est un plan affine, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine.

Définition : Si $\mathcal{E}$ est un espace affine de dimension 3, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un plan affine.

Il est clair que la notion de reflexion est à manier avec soin, puisqu'elle dépend de la dimension de l'espace dans lequel on travaille.