Chapitre 19 : Isométries Affines du Plan et de l'Espace

1 Isométries Affines

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1 Isométries Affines

Définition :   $ f:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{E}$ est une isométrie affine$ \Leftrightarrow\forall A,B\in\mathcal{E},\quad d\left( f\left( A\right) ,f\left( B\right) \right) =d\left( A^{\prime},B^{\prime}\right) =d\left( A,B\right) $

On dit qu'une isométrie affine conserve les distances.

1.1 Isométrie vectorielle associée

Théorème :   Soit $ f$ une isométrie affine. Alors $ \varphi:E\rightarrow E$, définie par    $ \varphi\left( \overrightarrow{MN}\right) =\overrightarrow{f\left( M\right) f\left( N\right) }=\overrightarrow{M^{\prime}N^{\prime}} $     est une isométrie vectorielle, c'est à dire un automorphisme orthogonal.
On dit que $ \varphi$ est l'isométrie vectorielle associée à $ f$.

La démonstration est admise.
Il faudrait prouver que ceci définit bien une application de $ E$ dans $ E$ et que cette application est linéaire.
Enfin, le fait que ce soit une isométrie vectorielle est élémentaire.
En pratique, dans le repère et la base donnés, l'isométrie vectorielle associée s'obtient en « éliminant » les constantes.
Cela permet d'avoir la matrice de $ \varphi$ dans la base orthonormale. Cette matrice est bien sûr orthogonale.
On rappelle que $ \varphi$, une isométrie vectorielle, est une symétrie orthogonale si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est symétrique.

Théorème :   $ f$ est une isométrie affine $ \Leftrightarrow\varphi$ est orthogonale

Preuve.$ \forall A,B\in\mathcal{E}, \quad d\left( f\left( A\right) ,f\left( B\right) \... ...overrightarrow{u}\right) \right\Vert =\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert $
On obtient cette équivalence en posant $ \overrightarrow{u}=\overrightarrow {AB}$ $ \qedsymbol$

Définition :   Si $ \varphi$ est directe, $ f$ est un déplacement, si $ \varphi$ est indirecte, $ f$ est un antidéplacement.

1.2 Principe général d'étude

Le principe général d'étude repose sur deux éléments :

Dans le cas où il y a un ou plusieurs points fixes, $ f$ est une sorte de « copie affine » de $ \varphi$. La description de $ f$ s'obtient en remplaçant, dans la description de $ \varphi$,

-
les espaces vectoriels par
-
les espaces affines correspondants qui passent par un des points fixes de $ f$.

1.3 Isométries affines sans points fixes

Théorème :   Une isométrie affine sans points fixes se décompose toujoursde façon unique comme la composée commutative :

La démonstration est admise.
En pratique, si on appelle $ \overrightarrow{E_{1}}$ l'ensembles des vecteurs propres de $ \varphi$ pour la valeur propre 1, on cherche les points $ M$ tels que $ \overrightarrow {MM^{\prime}}\in\overrightarrow{E_{1}}$. Cela fournit :



© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing