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Définition : 
est une isométrie affine
On dit qu'une isométrie affine conserve les distances.
Théorème : Soit 
une isométrie affine. Alors 
, définie par 
est une isométrie vectorielle, c'est à dire un automorphisme orthogonal.
On dit que 
est l'isométrie vectorielle associée à .
La démonstration est admise.
Il faudrait prouver que ceci définit bien une application de 
dans et que cette application est linéaire.
Enfin, le fait que ce soit une isométrie vectorielle est élémentaire.
En pratique, dans le repère et la base donnés, l'isométrie vectorielle associée s'obtient en « éliminant » les constantes.
Cela permet d'avoir la matrice de dans la base orthonormale. Cette matrice est bien sûr orthogonale.
On rappelle que , une isométrie vectorielle, est une symétrie orthogonale si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est symétrique.
Théorème : est une isométrie affine 
est orthogonale
Preuve.
On obtient cette équivalence en posant 
Définition : Si est directe, est un déplacement, si est indirecte, est un antidéplacement.
Le principe général d'étude repose sur deux éléments :
. l'isométrie vectorielle associée.Dans le cas où il y a un ou plusieurs points fixes, est une sorte de « copie affine » de . La description de s'obtient en remplaçant, dans la description de ,
. Théorème : Une isométrie affine sans points fixes se décompose toujoursde façon unique comme la composée commutative :
La démonstration est admise.
En pratique, si on appelle 
l'ensembles des vecteurs propres de pour la valeur propre 1, on cherche les points 
tels que 
. Cela fournit :
pour un point tel que .
