Chapitre 19 : Isométries Affines du Plan et de l'Espace

2 Isométries affines du plan

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2 Isométries affines du plan

On cherche d'abord les points fixes de l'isométrie affine.

2.1 Tous les points sont fixes

C'est l'identité ! C'est un déplacement.

2.2 Une droite fixe $\Delta$

C'est une symétrie orthogonale par rapport à $\Delta$ , qui est un anti-déplacement. On dit aussi que c'est une réflexion.
Notons que normalement on a remarqué que la matrice de $\varphi$ est symétrique.

2.3 Un seul point fixe $\Omega$

C'est une rotation de centre $\Omega$ et d'angle l'angle de la rotation vectorielle associée. C'est un déplacement.

2.4 Pas de points fixes

Cela peut être une translation, qui est un déplacement.
Sinon, l'isométrie vectorielle associée est une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle $\overrightarrow {\Delta}$ .
La matrice de $\varphi$ , qui est une isométrie vectorielle, dans une base orthonormale, est d'ailleurs alors symétrique.
L'isométrie affine est la composée d'une symétrie orthogonale par rapport à une droite $\Delta$ de direction $\overrightarrow {\Delta}$ et d'une translation.
On trouve $\Delta$ et le vecteur de la translation en cherchant les points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}\in\overrightarrow{\Delta}$ .
Ce que, de toutes façons, on a déjà vu sur la matrice qui est symétrique.
On appelle parfois cette transformation une symétrie-glissée. C'est un anti-déplacement.

La figure ci-dessous montre bien que l'on peut inverser l'ordre de la symétrie et de la translation.

$\includegraphics[$

2.5 Exemple

On va étudier la transformation donnée dans un repère orthonormal par : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^{\prime}=y-1\\ y^{\prime}=x+3 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
L'application affine associée a pour matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ qui est bien une matrice orthogonale, donc une matrice d'isométrie.
Comme cette matrice est symétrique, la transformation vectorielle associée est une symétrie orthogonale.
C'est la symétrie par rapport à la droite vectorielle d'équation de vecteur directeur $\begin{displaymath}\overrightarrow{u}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
L'isométrie affine n'a clairement aucun point fixe !
On cherche dons les points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}/\!/\, \overrightarrow{u}$ , c'est à dire , c'est donc la droite d'équation : .
Et on a alors pour tous les points de cette droite : $\begin{displaymath}\overrightarrow{MM^{\prime}}:\left( \begin{array}[c]{c} y-1... ...t) =\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$
On trouve ce vecteur en prenant un point quelconque de cette droite.
L'isométrie affine est donc la composée :

de la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\Delta$ d'équation et,
de la translation de vecteur $\begin{displaymath}\overrightarrow{v}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$ .