Chapitre 19 : Isométries Affines du Plan et de l'Espace

3 Isométries affines de l'espace

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3 Isométries affines de l'espace

On cherche d'abord les points fixes de l'isométrie affine.

3.1 Tous les points sont fixes

C'est l'identité ! C'est un déplacement.

3.2 Un plan fixe $\Pi$

C'est la symétrie orthogonale par rapport à ce plan, qui est un anti-déplacement. On dit aussi que c'est une réflexion.
La matrice de $\varphi$ dans la base orthonormale est symétrique.

C'est une rotation d'axe $\Delta$ . L'angle est l'angle de l'isométrie vectorielle associée.
Rappelons la nécessité d'orienter $\overrightarrow {\Delta}$ , pour déterminer l'angle, c'est à dire simplement ici le signe du sinus. C'est un déplacement.

Remarque : Une rotation affine du plan est toujours un déplacement. Ains, dans l'espace, une symétrie par rapport à une droite est un déplacement, c'est aussi une rotation d'angle $\pi$ ; tandis que dans le plan, une symétrie par rapport à une droite est un anti-déplacement.

3.4 Un seul point fixe $\Omega$

Dans le cas le plus simple, c'est la symétrie par rapport à $\Omega$ .
L'isométrie vectorielle associée est l'opposé de l'identité. C'est un anti-déplacement.
Sinon, l'isométrie vectorielle est la composée d'une rotation d'axe $\overrightarrow {\Delta}$ et de la symétrie orthogonale par rapport $\overrightarrow{\Pi}$ othogonal à $\overrightarrow {\Delta}$ .
On appelle $\Delta$ la droite $\left( \Omega,\overrightarrow{\Delta}\right)$ et $\Pi$ le plan $\left( \Omega,\overrightarrow{\Pi}\right)$ .
L'isométrie affine est la composée de la rotation d'axe $\Delta$ et de même angle et de la symétrie orthogonale par rapport à $\Pi$ . C'est un anti-déplacement.

3.5 Pas de points fixes

Cela peut être une translation, qui est un déplacement.
Cela peut être un vissage, composée d'une rotation et d'une translation dans la direction de l'axe. C'est un déplacement.
L'isométrie vectorielle associée est une rotation vectorielle.
Si l'angle est $\pi$ , la matrice de $\varphi$ dans une base orthonormale est symétrique.
On trouve l'axe et le vecteur de la translation en cherchant les points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}\, /\!/\,\overrightarrow{u}$ , avec $\overrightarrow{u}$ , vecteur directeur de l'axe de la rotation vectorielle associée.

La figure ci-dessous montre bien que l'on peut inverser l'ordre de la rotation et de la translation.

$\includegraphics[$

Sinon, l'isométrie vectorielle associée est une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel $\overrightarrow{\Pi}$ .
La matrice de $\varphi$ , qui est une isométrie vectorielle, dans une base orthonormale, est d'ailleurs alors symétrique.
On doit déjà s'en être aperçu ! L'isométrie affine est la composée d'une symétrie orthogonale par rapport à un plan $\Pi$ de direction $\overrightarrow{\Pi}$ et d'une translation.
On trouve $\Pi$ et le vecteur de la translation en cherchant les points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}\in \overrightarrow{\Pi}$ .
On appelle parfois cette transformation une symétrie-glissée. C'est un anti-déplacement.

3.6 Exemple

On va étudier la transformation donnée dans un repère orthonormal par : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x^{\prime}=\dfrac{1}{3}\left( -... ...me}=\dfrac{1}{3}\left( x+2y+2z\right) +3 \end{array} \right. \end{displaymath}$
L'application affine associée a pour matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} ... ...frac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} \end{array} \right) \end{displaymath}$ qui est bien une matrice orthogonale, donc une matrice d'isométrie.
Elle n'est pas symétrique, on n'a donc pas une symétrie orthogonale.
Le troisième vecteur est le produit vectoriel des deux premiers, c'est une isométrie directe.
L'isométrie vectorielle associée est donc une rotation vectorielle. On a $1+2\cos\theta=-\dfrac{2}{3}$ en utilisant la trace, ce qui donne : $\cos\theta =-\dfrac{5}{6}$ .
L'axe de cette rotation vectorielle est donné par les vecteurs invariants : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -5x-y+2z=0\\ 2x-5y+z=0\\ x+2y-z=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ ou encore, en éliminant les des deux premières équation grace à la troisième : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -3x+3y=0\\ 3x-3y=0\\ x+2y-z=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ et enfin : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} y=x\\ z=3x \end{array} \right. \end{displaymath}$
Il s'agit de la droite vectorielle engendrée par $\begin{displaymath}\overrightarrow{u}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1\\ 3 \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
Pour savoir si l'angle de la rotation est $\pm\arccos\left(-\dfrac{5}{6}\right)$ , il faut calculer le signe du déterminant $\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}[c]{ccc} 1 & -\dfrac{2}{3} & 1\\ ... ...ac{2}{3} & 1\\ 0 & \dfrac{1}{3} & 3 \end{array} \right\vert\end{displaymath}$ .
Ce signe est positif, donc l'isométrie vectorielle associée est donc la rotation d'axe dirigé par $\begin{displaymath}\overrightarrow{u}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1\\ 3 \end{array} \right) \end{displaymath}$ et d'angle $\arccos\left(-\dfrac{5}{6}\right)$ .
L'isométrie affine est donc soit une rotation affine, soit un vissage. Pour le déterminer,il faut rechercher les points fixes : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -5x-y+2z+3=0\\ 2x-5y+z+3=0\\ x+2y-z+9=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ ou encore, en éliminant les des deux premières équation grace à la troisième : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -3x+3y+21=0\\ 3x-3y+12=0\\ x+2y-z=0 \end{array} \right. .\end{displaymath}$
Ce système est incompatible, il n'y a pas de points fixes, c'est un vissage.
L'axe de ce vissage est l'ensemble des points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}\, /\!/\,\overrightarrow{u}$ .
Ce qui donne $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} -5x-y+2z+3\\ 2x-5y+z+3\\ x+2... ...eft( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1\\ 3 \end{array} \right) \end{displaymath}$ équivalent au système : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -5x-y+2z=2x-5y+z\\ x+2y-z=3\left( 2x-5y+z\right) \end{array} \right. \end{displaymath}$ ou : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -7x+4y+z=0\\ -5x+17y-4z=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ ou : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -7x+4y+z=0\\ -33x+33y=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ et enfin : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} y=x\\ z=3x \end{array} \right. \end{displaymath}$
Il s'agit de la droite affine passant par l'origine et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ . Le vecteur de la translation est : $\begin{displaymath}\overrightarrow{OO^{\prime}}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1\\ 3 \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
L'isométrie affine est le vissage d'axe orienté $\Delta:\left( O,\overrightarrow{u}\right)$ , d'angle $\arccos\left(-\dfrac{5}{6}\right)$ et de vecteur de translation $\overrightarrow{u}$ .