Chapitre 19 : Isométries Affines du Plan et de l'Espace

4 Décomposition en produit de réflexions

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4 Décomposition en produit de réflexions

Théorème :   Toute isométrie affine du plan et de l'espace se décompose en produit de réflexions.

Preuve. Compte tenu des décompositions faites, il suffit de montrer qu'une translation et qu'une rotation se décompose en produit de réflexions.
Bien sûr, il faudra traiter le cas où on travaille dans le plan et le cas où on travaille dans l'espace. $ \qedsymbol$

4.1 Dans le plan

4.1.1 Décomposition d'une translation

Il suffit de prendre deux droites perpendiculaires à $ \overrightarrow{u}$,$ \Delta $ et $ \Delta^{\prime}$ telles que $ \Delta^{\prime}$ est translatée de $ \Delta $ de $ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$. Alors $ T_{\overrightarrow{u}}=S_{\Delta^{\prime}}\circ S_{\Delta}$.
En effet, on note $ M^{\prime}=S_{\Delta}\left( M\right) $ et $ M^{\prime \prime}=S_{\Delta^{\prime}}\circ S_{\Delta}\left( M\right) $.
On note $ H$ et$ H^{\prime}$ les projections de $ M$ sur $ \Delta $ et $ \Delta^{\prime}$.
On a$ \overrightarrow{HH^{\prime}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$.

$\displaystyle \overrightarrow{MM^{\prime\prime}}$

$\displaystyle =\overrightarrow{MM^{\prime} }+\overrightarrow{M^{\prime}M^{\prime\prime}}$

   

 

$\displaystyle =2\overrightarrow{HM^{\prime}}+2\overrightarrow{M^{\prime}H^{\prime}}$

   

 

$\displaystyle =2\overrightarrow{HH^{\prime}}=\overrightarrow{u}$

   


La figure ci-dessous illustre bien que : $ \overrightarrow{MM^{\prime\prime}}=2\,\overrightarrow{HH^{\prime}}$

\includegraphics[width=4in]{Translation}

4.1.2 Décomposition d'une rotation de centre $ \Omega $ et d'angle $ \theta $

Il suffit de prendre deux droites passant par $ \Omega $, $ \Delta $ et$ \Delta^{\prime}$ telles que $ \Delta^{\prime}$ est $ \Delta $ tournée de$ \dfrac{1}{2}\theta$. Alors $ R_{\theta}=S_{\Delta^{\prime}}\circ S_{\Delta}$.
En effet, on note $ M^{\prime}=S_{\Delta}\left( M\right) $ et $ M^{\prime \prime}=S_{\Delta^{\prime}}\circ S_{\Delta}\left( M\right) $.

$\displaystyle \widehat{\left( \overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime\prime}}\right) }$

$\displaystyle =\widehat{\left( \overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omeg... ...ghtarrow{\Omega M^{\prime}},\overrightarrow{\Omega M^{\prime\prime} }\right) }$

   

 

$\displaystyle =2\widehat{\left( \Delta,\overrightarrow{\Omega M^{\prime}}\right) }+2\widehat{\left( \overrightarrow{\Omega M^{\prime}},\Delta^{\prime}\right) }$

   

 

$\displaystyle =2\widehat{\left( \Delta,\Delta^{\prime}\right) }=\theta$

   


La figure ci-dessous illustre que :     $ \widehat{\left( \overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime\prime}}\right) }=2\widehat{\left( \Delta,\Delta^{\prime}\right) }$

\includegraphics[

4.2 Dans l'espace

4.2.1 Décomposition d'une translation

Il suffit de prendre deux plans perpendiculaires à $ \overrightarrow{u}$,$ \Pi $ et $ \Pi^{\prime}$ telles que $ \Pi^{\prime}$ est translatée de $ \Pi $ de $ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$.
Alors $ T_{\overrightarrow{u}}=S_{\Pi^{\prime}}\circ S_{\Pi}$
En effet, On note $ M^{\prime}=S_{\Pi}\left( M\right) $ et $ M^{\prime\prime }=S_{\Pi^{\prime}}\circ S_{\Pi}\left( M\right) $.
On note $ H$ et $ H^{\prime}$ les projections de $ M$ sur $ \Pi $ et $ \Pi^{\prime}$. On a $ \overrightarrow{HH^{\prime}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$.

$\displaystyle \overrightarrow{MM^{\prime\prime}}$

$\displaystyle =\overrightarrow{MM^{\prime} }+\overrightarrow{M^{\prime}M^{\prime\prime}}$

   

 

$\displaystyle =2\overrightarrow{HM^{\prime}}+2\overrightarrow{M^{\prime}H^{\prime}}$

   

 

$\displaystyle =2\overrightarrow{HH^{\prime}}=\overrightarrow{u}$

   


La figure est du même type que dans le plan.

4.2.2 Décomposition d'une rotation d'axe $ \Delta $ et d'angle $ \theta $

Il suffit de prendre deux plans contenant $ \Delta $, $ \Pi $ et $ \Pi^{\prime}$ tels que $ \Pi^{\prime}$ est $ \Pi $ tournée de $ \dfrac{1}{2}\theta$ autour de $ \Delta $. Alors $ R_{\theta}=S_{\Pi^{\prime}}\circ S_{\Pi}$.
En effet, on note $ M^{\prime}=S_{\Pi}\left( M\right) $ et $ M^{\prime\prime }=S_{\Pi^{\prime}}\circ S_{\Pi}\left( M\right) $.
On note encore $ \Omega $ le point de $ \Delta $ tel que $ \overrightarrow{\Omega M\text{ }}\bot$ $ \Delta $.

$\displaystyle \widehat{\left( \overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime\prime}}\right) }$

$\displaystyle =\widehat{\left( \overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omeg... ...ghtarrow{\Omega M^{\prime}},\overrightarrow{\Omega M^{\prime\prime} }\right) }$

   

 

$\displaystyle =2\widehat{\left( \Pi,\overrightarrow{\Omega M^{\prime}}\right) }+2\widehat{\left( \overrightarrow{\Omega M^{\prime}},\Pi^{\prime}\right) }$

   

 

$\displaystyle =2\widehat{\left( \Pi,\Pi^{\prime}\right) }=\theta$

   


La figure est du même type que dans le plan.

© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing