Chapitre 2 : Compléments d'Algèbre linéaire

1 Familles de vecteurs

Sous-sections

1 Familles de vecteurs

désigne un ensemble d'indices, non nécessairement fini. Par exemple $\{1,2,\ldots,n\}$ , $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ ...
$\mathcal{F}$ désigne la famille des $\left( u_{i}\right) _{i\in I}$

1.1 Famille libre

Définition : $\mathcal{F}$ est libre $\Leftrightarrow$ toute sous-famille finie de $\mathcal{F}$ est libre.
C'est à dire :

$\displaystyle \forall J\subset I,J$ finie $\displaystyle \quad\sum\limits_{j\in J}\alpha_{j} u_{j}=0\Rightarrow\forall j\in J,\quad\alpha_{j}=0$

Exemple : Dans $\mathbb{R}[X]$ , $\left( X^{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est une famille libre.

1.2 Famille génératrice

Définition : $\mathcal{F}$ est génératrice $\Leftrightarrow$ tout vecteur de est combinaison linéaire de vecteurs de $\mathcal{F}$ .
C'est à dire :

$\displaystyle \forall u\in E,\exists J\subset I,J$ finie $\displaystyle \quad\exists\left( \alpha _{j}\right) _{j\in J}$ tel que $\displaystyle u=\sum\limits_{j\in J}\alpha _{j}u_{j}$

Exemple : Dans $\mathbb{R}[X]$ , $\left( X^{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est aussi une famille génératrice.

1.3 Propriétés

Ceci étend bien les définitions en dimension finie.
Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
Toute sur-famille d'une famille génératrice est génératrice. $\varphi:E\rightarrow F$
linéaire, $\left( u_{i}\right) _{i\in I}$ génératrice de $E\Rightarrow\left( \varphi\left( u_{i}\right) \right) _{i\in I}$ est génératrice de $\operatorname{Im}(E)$

Théorème : $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \left( u_{i}\right) _{i\in I}\te... ...I}\right) \text{ li\'{e}e} \end{array} \right\} \Rightarrow u\end{displaymath}$ est combinaison linéaire des $\left( u_{i}\right) _{i\in I}$

Preuve. Une liaison contenant des coefficients non nuls contient nécessairement avec un coefficient non nul...
On écrit : $\lambda u+\displaystyle\sum_{i\in I} \lambda _i u_i=0$ Si $\lambda =0$ , alors $\displaystyle\sum_{i\in I} \lambda _i u_i=0$ , mais comme cette famille est libre, chaque $\lambda _i$ est nul, ce qui est impossible.
Si $\lambda \not= 0$ , alors : $u=\dfrac{-\displaystyle\sum_{i\in I} \lambda _i u_i}{\lambda}$ , ce qui prouve le résultat anoncé. $\qedsymbol$

Théorème : L'image d'une famille libre par une application linéaire injectiveest libre.

Preuve. $\sum\limits_{j\in J}\alpha_{j} \varphi\left( u_{j}\right) =0\Rightarrow \var... ... \sum\limits_{j\in J}\alpha_{j} u_{j}=0\Rightarrow\forall j\in J,\alpha_{j}=0$ $\qedsymbol$