Chapitre 2 : Compléments d'Algèbre linéaire

2 Equations linéaires

Sous-sections

2 Equations linéaires

Dans cette partie, $ E$ et $ F$ sont des espaces vectoriels sur $ \mathbb{K}$$ (\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C)}$, de dimension finie ou non.
D'autre part,$ \varphi:E\rightarrow F$ est une application linéaire.

2.1 Equation linéaire

Définition :   Une équation linéaire est une équation du type $ \varphi\left( u\right) =b$.
La résoudre, c'est chercher tous les vecteurs $ u$ tels que$ \varphi\left( u\right) =b$.

Exemple :   Il y a de très nombreux exemples différents. On peut citer :

2.2 Equation linéaire homogène $ \left ( b=0\right ) $

Théorème :   L'ensemble des solutions de $ \varphi\left( u\right) =0$ est un sous-espace vectoriel de $ E$, noté $ \ker\left( \varphi\right) $. En particulier, $ u=0$ est toujours solution.

2.3 Equation linéaire non homogène $ \left( b\neq0\right) $

Théorème :   Si $ b\notin\operatorname{Im}\left( \varphi\right) $, alors l'ensemble des solutions est vide. Si $ b\in\operatorname{Im}\left( \varphi\right) $, alors $ \exists u_{0}\in E$, $ \varphi\left( u_{0}\right) =b$.
L'ensemble des solutions est alors

$\displaystyle u_{0}+\ker\left( \varphi\right) =\{u\in E,\exists y\in\ker\left( \varphi\right) ,u=u_{0}+y\} $

Preuve.$ \left( u-u_{0}\right) $ est solution de l'équation homogène associée. $ \qedsymbol$

2.4 Superposition des solutions

Théorème :   Soit l'équation linéaire $ \varphi\left( u\right) =b_{1}+b_{2}$, avec$ u_{1}$ solution de $ \varphi\left( u\right) =b_{1}$, et $ u_{2}$ solution de$ \varphi\left( u\right) =b_{2}$.
Alors $ u_{1}+u_{2}$ est solution de$ \varphi\left( u\right) =b_{1}+b_{2}$, la solution générale étant $ u_{1}+u_{2}+\ker\left( \varphi\right) $.

Preuve.$ \varphi\left( u_{1}+u_{2}\right) =\varphi\left( u_{1}\right) +\varphi\left( u_{2}\right) =b_{1}+b_{2}$. $ \qedsymbol$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing