Chapitre 2 : Compléments d'Algèbre linéaire

3 Eléments propres d'un endomorphisme

Sous-sections

3 Eléments propres d'un endomorphisme

Notation : est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ $(\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C)}$ , de dimension finie ou non. $\varphi:E\rightarrow E$ est un endomorphisme.

3.1 Valeurs propres et vecteurs propres

Définition : $\lambda\in\mathbb{K}$ et $u\in E$ est un couple valeur propre, vecteur propre de $\begin{displaymath}\varphi\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} u\neq0\\ \varphi\left( u\right) =\lambda.u \end{array} \right. \end{displaymath}$

Remarque : Un vecteur propre n'est jamais nul.

Théorème : $\lambda\in\mathbb{K}$ est une valeur propre de $\varphi\Leftrightarrow \ker\left( \varphi-\lambda.Id_{E}\right) \neq\{0\}$

Définition : L'ensemble des valeurs propres de $\varphi$ est le spectre de $\varphi$ .

3.2 Sous espaces propres

Définition : Si $\lambda\in\mathbb{K}$ est une valeur propre de $\varphi$ , on appelle sous-espace propre de $\varphi$ associé à la valeur propre $\lambda$ ,

$\displaystyle E_{\lambda}=\{u\in E$, $\varphi\left( u\right) =\lambda.u\}$

C'est donc l'ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$ auxquels on adjoint le vecteur nul.

Théorème : Le sous espace propre de $\varphi$ associé à la valeur propre $\lambda$ , $E_{\lambda}$ est un sous-espace vectoriel de .

Preuve. $E_{\lambda}=\ker\left( \varphi-\lambda.Id_{E}\right)$ est dons un sous espace vectoriel puisque c'est un noyau. $\qedsymbol$

Remarque : On note $E_{\lambda}=\ker\left( \varphi-\lambda.Id_{E}\right)$ même quand $\lambda$ n'est pas valeur propre de $\varphi$ .
D'une façon plus particulière, $E_{0}=\ker\left( \varphi\right)$ .
Ainsi, 0 est valeur propre $\Leftrightarrow\varphi$ n'est pas injective.

Théorème : 2 sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.

Preuve. Soit $u\in E_{\lambda}\cap E_{\mu}$ , alors $\varphi\left( u\right) =\lambda.u=\mu.u$ , d'où $\left( \lambda-\mu\right) .u=0$ et comme $\lambda-\mu\neq0$ , . $\qedsymbol$

3.3 Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes

Théorème : un $\mathbb{K}$ -e.v., $\varphi\in\mathcal{L}\left( E\right)$ , $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}:n$ valeurs propresdistinctes 2 à 2, $u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}:n$ vecteurs propres associés, alors la famille $\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)$ est libre.

Preuve. On pose

$\displaystyle \alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\cdots+\alpha_{n}u_{n}=0$

à laquelle on applique $\varphi:$

$\displaystyle \alpha_{1}\lambda_{1}u_{1}+\alpha_{2}\lambda_{2}u_{2}+\cdots+\alpha_{n} \lambda_{n}u_{n}=0$

à laquelle on retire $\lambda_{n}$ fois la relation précédente, d'où :

$\displaystyle \alpha_{1}\left( \lambda_{1}-\lambda_{n}\right) u_{1}+\alpha_{2}\... ... u_{2}+\cdots+\alpha_{n-1}\left( \lambda _{n-1}-\lambda_{n}\right) u_{n-1}=0$

Pour conclure, il suffit de remarquer que si $\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n-1}\right)$ est libre, alors $\left( u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)$ est libre.
Comme $\left( u_{1}\right)$ est libre, on a le résultat. $\qedsymbol$

3.4 Exemples

Homothétie de rapport Une homothétie de rapport possède une unique valeur propre et . Tous les vecteurs, sauf le vecteur nul, sont propres.
$E=F\oplus G$
- Soit la projection sur parallèlement à . 1 et 0 sont les deux valeurs propres, $E_{1}=F$ et $E_{0}=G$ .
  On écrit la décomposition canonique selon la somme directe d'un vecteur non nul, propre pour $\lambda$ , , à laquelle on applique, d'où $p\left( u\right) =v=\lambda v+\lambda w$ ce qui donne $\left( \lambda-1\right) v+\lambda w=0$ .
  et ne sont pas tous les 2 nuls puisque ne l'est pas.
  Comme $\lambda$ ne peut à la fois être égal à 1 et à 0, et sont liés et donc l'un des 2 est nul.
  Ce qui entraîne $\lambda=1$ et ou $\lambda =0$ et . Il ne reste qu'à conclure.
- Soit la symétrie par rapport à , parallèlement à. 1 et -1 sont les deux valeurs propres, $E_{1}=F$ et $E_{-1}=G$ .
  Le résultat est immédiat en écrivant .
Soit $E=\mathcal{C}^{0}\left[ \mathbb{R}\right]$ et $\varphi:E\rightarrow E$ telle que $\varphi\left( f\right) :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$
En un mot, $\varphi\left( f\right)$ est la primitive de qui s'annule en 0. On va chercher les éléments propres de $\varphi.$
Il faut d'abord vérifier que $\varphi$ est bien un endomorphisme, c'est à dire que c'est une application de dans qui est linéaire.
$\varphi\left( f\right)$ est clairement continue puisque c'est une primitive d'une application continue.
De plus $\varphi$ est bien linéaire par linéarité de l'intégration, $\varphi$ est donc bien un endomorphisme.
Cherchons en les éléments propres, c'est à dire les applications non identiquement nulles et les scalaires $\lambda$ tels que $\varphi\left( f\right) =\lambda\cdot f$
On écrit cette égalité pour un quelconque : $\varphi\left( f\right) \left( x\right) =\lambda f\left( x\right)$ ou encore $\displaystyle\int _{0}^{x}f\left( t\right) dt=\lambda f\left( x\right)$ pour tout réel. Si $\lambda=0,$ pour tout réel, $\displaystyle\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt=0,$ en dérivant, $f\left( x\right) =0,$ est l'application nulle et n'est donc pas un vecteur propre, 0 n'est donc pas valeur propre.
Donc $\lambda\neq0,$ d'où est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$ et en dérivant, pour tout réel, $f\left( x\right) =\lambda f^{\prime}\left( x\right) .$
On conserve la condition $f\left( 0\right) =0$ pour avoir une équivalence. est donc solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sans second membre $\lambda y^{\prime}-y=0$ , ce qui donne $\exp\left( x/\lambda\right) .$
La valeur en 0 nous donne et donc est encore l'application nulle...
Finalement $\varphi$ n'a pas de valeur propre.