Chapitre 2 : Compléments d'Algèbre linéaire
3 Eléments propres d'un endomorphisme
Sous-sections
Notation : est un espace vectoriel sur ou , de dimension finie ou non. est un endomorphisme.
Définition : et est un couple valeur propre, vecteur propre de
Remarque : Un vecteur propre n'est jamais nul.
Théorème : est une valeur propre de
Définition : L'ensemble des valeurs propres de est le spectre de.
Définition : Si est une valeur propre de , on appelle sous-espace propre de associé à la valeur propre ,
C'est donc l'ensemble des vecteurs propres associés à auxquels on adjoint le vecteur nul.
Théorème : Le sous espace propre de associé à la valeur propre, est un sous-espace vectoriel de .
Preuve. est dons un sous espace vectoriel puisque c'est un noyau.
Remarque : On note même quand n'est pas valeur propre de .
D'une façon plus particulière, .
Ainsi, 0 est valeur propre n'est pas injective.
Théorème : 2 sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
Preuve. Soit , alors , d'où et comme, .
Théorème : un -e.v., , valeurs propresdistinctes 2 à 2, vecteurs propres associés, alors la famille est libre.
Preuve. On pose
à laquelle on applique
à laquelle on retire fois la relation précédente, d'où :
Pour conclure, il suffit de remarquer que si est libre, alors est libre.
Comme est libre, on a le résultat.
- Homothétie de rapport Une homothétie de rapport possède une unique valeur propre et . Tous les vecteurs, sauf le vecteur nul, sont propres.
- Soit la projection sur parallèlement à . 1 et 0 sont les deux valeurs propres, et .
On écrit la décomposition canonique selon la somme directe d'un vecteur non nul, propre pour , , à laquelle on applique, d'où ce qui donne.
et ne sont pas tous les 2 nuls puisque ne l'est pas.
Comme ne peut à la fois être égal à 1 et à 0, et sont liés et donc l'un des 2 est nul.
Ce qui entraîne et ou et . Il ne reste qu'à conclure. - Soit la symétrie par rapport à , parallèlement à. 1 et -1 sont les deux valeurs propres, et .
Le résultat est immédiat en écrivant .
- Soit et telle que
En un mot, est la primitive de qui s'annule en 0. On va chercher les éléments propres de
Il faut d'abord vérifier que est bien un endomorphisme, c'est à dire que c'est une application de dans qui est linéaire.
est clairement continue puisque c'est une primitive d'une application continue.
De plus est bien linéaire par linéarité de l'intégration, est donc bien un endomorphisme.
Cherchons en les éléments propres, c'est à dire les applications non identiquement nulles et les scalaires tels que
On écrit cette égalité pour un quelconque : ou encore pour tout réel. Si pour tout réel, en dérivant, est l'application nulle et n'est donc pas un vecteur propre, 0 n'est donc pas valeur propre.
Donc d'où est de classe sur et en dérivant, pour tout réel,
On conserve la condition pour avoir une équivalence. est donc solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sans second membre , ce qui donne
La valeur en 0 nous donne et donc est encore l'application nulle...
Finalement n'a pas de valeur propre.
© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing