Chapitre 20 : Equations et Systèmes Différentiels

2 Equations Différentielles Linéaires du second ordre

Sous-sections

2 Equations Différentielles Linéaires du second ordre

2.1 Equation différentielle linéaire du second ordre

Définition : Un équation différentielle linéaire du second ordre est une équation du type :

$\displaystyle a\left( x\right) y^{\prime\prime}+b\left( x\right) y^{\prime}+c\left( x\right) y=d\left( x\right)$

(E)

où sont des fonctions continues sur un intervalle où, de plus, ne s'annule pas.
L'équation homogène asociée à (E) est :

$\displaystyle a\left( x\right) y^{\prime\prime}+b\left( x\right) y^{\prime}+c\left( x\right) y=0$

(H)

2.2 Existence des solutions

Théorème : Soit :

$\displaystyle a\left( x\right) y^{\prime\prime}+b\left( x\right) y^{\prime}+c\left( x\right) y=d\left( x\right)$

(E)

où sont des fonctions continues de $I\rightarrow\mathbb{K}$ $\left( \mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}\right)$ , un intervalle où, de plus, ne s'annule pas.
Soit $x_{0}\in I$ , et les conditions initiales $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} y\left( x_{0}\right) =y_{0}\\... ...rime}\left( x_{0}\right) =y_{0}^{\prime} \end{array} \right. \end{displaymath}$
Alors (E) admet une solution unique de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur qui vérifie les conditions initiales.

Remarque : On ne tient compte des conditions initiales que lorsqu'on a la solution générale de l'équation avec second membre.

Théorème : Soit :

$\displaystyle a\left( x\right) y^{\prime\prime}+b\left( x\right) y^{\prime}+c\left( x\right) y=0$

(H)

où sont des fonctions continues de $I\rightarrow\mathbb{K}$ $\left( \mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}\right)$ , un intervalle où, de plus, ne s'annule pas.
Alors l'ensemble des solutions de (H) sur a une structure d'espace vectoriel de dimension 2 sur $\mathbb{K}$ .

Ces deux théorèmes sont admis.

Remarque : On notera l'intérêt d'avoir un espace vectoriel de dimension 2 car, la connaissance de 2 solutions non proportionelles donne alors immédiatement l'ensemble des solutions.

Théorème : La solution générale de (E) est la somme d'une solution particulière de (E) et de la solution générale de (H).

Preuve. Soit $y_{1}\left( x\right)$ une solution particulière de (E), $y\left( x\right)$ une solution quelconque de (E), alors, $\left( y\left( x\right) -y_{1}\left( x\right) \right)$ est solution de (H).
Réciproquement, si $z\left( x\right)$ est solution de (H), $\left( y_{1}\left( x\right) +z\left( x\right) \right)$ est alors solution de (E). $\qedsymbol$

Remarque : En pratique, il nous suffit donc d'avoir :

Une solution particulière de (E),
Deux solutions non proportionelles de (H).

2.3 Recherche des solutions

Il n'y a pas de méthode pour trouver dans tous les cas une solution de (E) ou de (H). L'énoncé doit vous guider.

Si on recherche une solution sous forme polynomiale, on cherchera d'abord son degré.
On peut aussi faire faire un changement de variable (attention alors à la notation « prime » ambigüe) ou un changement de fonction inconnue.
Enfin, on peut vous demander de rechercher une solution développable en série entière. On n'employe ce procédé qu'à la demande de l'énoncé.

Il existe un seul procédé (à notre programme) pour construire la solution générale de (E) à partir d'une solution de (H). C'est la variation de la constante.

Remarque : La variation de la constante n'est pas un procédé miraculeux ! Elle peut donner des calculs longs et difficiles.
On la réserve donc au cas où on n'a pas d'autre procédé pour obtenir une telle solution particulière.

Soit $h\left( x\right)$ une solution de (H).
On pose :
$\displaystyle y\left( x\right)$
$\displaystyle =z\left( x\right) h\left( x\right)$

$\displaystyle y^{\prime}\left( x\right)$
$\displaystyle =z^{\prime}\left( x\right) h\left( x\right) +z\left( x\right) h^{\prime}\left( x\right)$

$\displaystyle y^{\prime\prime}\left( x\right)$
$\displaystyle =z^{\prime\prime}\left( x\right) h\left( x\right) +2z^{\prime}\l... ...t) h^{\prime}\left( x\right) +z\left( x\right) h^{\prime\prime}\left( x\right)$


On reporte dans (E) :
$\displaystyle a\left( x\right) y^{\prime\prime}\left( x\right) +b\left( x\right) y^{\prime}\left( x\right) +c\left( x\right) y\left( x\right)$
$\displaystyle =z\left( x\right) \underbrace{\left( a\left( x\right) h^{\prime\p... ...t) h^{\prime}\left( x\right) +c\left( x\right) h\left( x\right) \right) }_{=0}$


$\displaystyle +z^{\prime}\left( x\right) \left( 2a\left( x\right) h^{\prime}\le... ...t) \right) +z^{\prime\prime }\left( x\right) a\left( x\right) h\left( x\right)$

$\displaystyle d\left( x\right)$
$\displaystyle =z^{\prime}\left( x\right) \left( 2a\left( x\right) h^{\prime}\l... ...t) \right) +z^{\prime\prime}\left( x\right) a\left( x\right) h\left( x\right)$
On obtient donc une équation différentielle linéaire du premier ordre en $z^{\prime}$ :
$\displaystyle z^{\prime\prime}\left( x\right) a\left( x\right) h\left( x\right)... ...\left( x\right) +b\left( x\right) h\left( x\right) \right) =d\left( x\right)$
On résout d'abord cette équation sans le second membre. Ce qui donne :
$\displaystyle z^{\prime}\left( x\right)$
$\displaystyle =K\exp\left( -\int\dfrac{\left( 2a\left( x\right) h^{\prime}\lef... ...ght) h\left( x\right) \right) }{a\left( x\right) h\left( x\right) }\,dx\right)$


$\displaystyle =K\exp\left( -\int\frac{2h^{\prime}\left( x\right) }{h\left( x\right) }+\frac{b\left( x\right) }{a\left( x\right) }\,dx\right)$


$\displaystyle =\dfrac{K}{\left( h\left( x\right)\right) ^{2}}\exp\left( -\int\frac{b\left( x\right) }{a\left( x\right) }\,dx\right)$


Il suffit alors de terminer ce calcul et, d'éventuellement trouver une solution particulière à l'équation avec second membre.
On pourra au besoin utiliser encore une fois la technique de la variation de la constante.
On obtient donc $z^{\prime}\left( x\right)$ qu'il suffit de primitiver.
Enfin, on n'oublie pas que $y\left( x\right) =z\left( x\right) h\left( x\right)$ est la solution générale de (E).
Il faut absolument travailler le plus longtemps possible en calcul formel pour bénéficier des simplifications constatées...

Exemple : On va résoudre l'équation différentielle : $x\left( x+1\right) y^{\prime\prime}+\left( x+2\right) y^{\prime}-y=0$ .
On cherchera d'abord une solution polynomiale.
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire à coefficients non constants et sans second membre.
On la résout sur un intervalle ne contenant pas 0 ni .
On cherche une condition nécessaire sur le degré du polynôme, en n'écrivant à chaque fois que le terme de plus haut degré : $y=x^{n}+\ldots$ et donc : $y^{\prime}=nx^{n-1}+\ldots$ et enfin : $y^{\prime\prime }=n\left( n-1\right) x^{n-2}+\ldots$ qu'on reporte dans l'équation : $x\left( x+1\right) y^{\prime\prime }+\left( x+2\right) y^{\prime}-y=\left( n\left( n-1\right) +n-1\right) x^{n}+\ldots=\left( n-1\right) ^{2}x^{n}+\ldots=0$ ,
on en conclut que .
On pose donc , d'où $y^{\prime}=1$ et $y^{\prime\prime}=0$ . On a donc $\left( x+2\right) -x-a=0$ et donc . est solution de l'équation sur .
On applique maintenant la variation de la constante : $y=h\,z$ , ce qui donne, en écourtant le calcul, qu'on mène en théorique : $x\left( x+1\right) h\,z^{\prime\prime}+\left( 2x\left( x+1\right) h^{\prime}+\left( x+2\right) h\right) \,z^{\prime}=0$ . $z^{\prime}=K\exp\left( -\displaystyle\int\dfrac{2h^{\prime}}{h}+\dfrac{x+2}{x(... ... x+2) ^{2}}\exp\left( -\displaystyle\int\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x+1}\,dx\right)$ $=K\dfrac{x+1}{x^{2}\left( x+2\right) ^{2}}=\dfrac{K}{4}\left( \dfrac {1}{x^{2}}-\dfrac{1}{\left( x+2\right) ^{2}}\right)$
en utilisant les décompositions classiques en éléments simples.
On obtient : $z=\dfrac{K}{4}\left( \dfrac{1}{\left( x+2\right) }-\dfrac {1}{x}\right) +L$ .
Ce qui donne finalement $y=\dfrac{K}{4}\left( 1-\dfrac{x+2}{x}\right) +L\left( x+2\right) =\dfrac{K^{\prime}}{x}+L\left( x+2\right)$ .

2.4 Recollement de solutions

On résout une équation ou un système différentiels sur unintervalle où ne s'annule pas.
Assez souvent, on demande de recoller les solutions sur des intervalles séparés par un point où s'annule.
Pour recoller en $\gamma$ les solutions sur deux intervalles, sur $\left] \alpha,\gamma\right[$ et sur $\left] \gamma,\beta\right[ \$ il faut chercher à égaler

les limites (finies) de et en $\gamma$
les limites (finies) de $f^{\prime}$ et $g^{\prime}$ en $\gamma$
et éventuellement, les limites (finies) de $f^{\prime\prime}$ et $g^{\prime\prime}$ en $\gamma$ , dans le cas d'une équation diiférentielle du second ordre.

On note qu'il est important d'appeler de façons différentes les constantes utilisées par

sur $\left] \alpha,\gamma\right[$ et,
sur $\left] \gamma,\beta\right[ \$ .

Exemple : On va chercher sur $\mathbb{R}$ , les solutions de l'équation différentielle : $y^{\prime\prime}+y=\left\vert x\right\vert$ .
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et avec second membre.
L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ est un espace affine de dimension 2 car la fonction valeur absolue est continue.
Les solutions de l'équation homogène associée sont $y=A\cos x+B\sin x$ .
On s'occupe maintenant de l'équation avec second membre. Sur $\left] -\infty,0\right]$ une solution particulière est , la solution générale : $y=A\cos x+B\sin x-x$ . Sur $\left[ 0,+\infty\right[$ une solution particulière est , la solution générale : $y=C\cos x+D\sin x+x$ .
Il s'agit maintenant de recoller ces deux solutions en 0.

Egalité des limites de en 0. En $0^{-}$ , la limite est et en $0^{+}$ , la limite est $C :\quad A=C$ .
Egalité des limites de $y^{\prime}$ en 0. En $0^{-}$ , la limite est et en $0^{+}$ , la limite est $D+1:\quad D=B-2$ .
Egalité des limites de $y^{\prime\prime}$ en 0. En $0^{-}$ , la limite est et en $0^{+}$ , la limite est aussi compte tenu de .

La solution générale sur $\mathbb{R}$ est donc : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} y=A\cos x+B\sin x-x\quad\text{ ... ...ext{ pour }x\in\left[ 0,+\infty \right[ \end{array} \right. \end{displaymath}$ Cette fonction est bien de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\mathbb{R}$ .

$\displaystyle y\left( x\right)$	$\displaystyle =z\left( x\right) h\left( x\right)$
$\displaystyle y^{\prime}\left( x\right)$	$\displaystyle =z^{\prime}\left( x\right) h\left( x\right) +z\left( x\right) h^{\prime}\left( x\right)$
$\displaystyle y^{\prime\prime}\left( x\right)$	$\displaystyle =z^{\prime\prime}\left( x\right) h\left( x\right) +2z^{\prime}\l... ...t) h^{\prime}\left( x\right) +z\left( x\right) h^{\prime\prime}\left( x\right)$

$\displaystyle a\left( x\right) y^{\prime\prime}\left( x\right) +b\left( x\right) y^{\prime}\left( x\right) +c\left( x\right) y\left( x\right)$	$\displaystyle =z\left( x\right) \underbrace{\left( a\left( x\right) h^{\prime\p... ...t) h^{\prime}\left( x\right) +c\left( x\right) h\left( x\right) \right) }_{=0}$
	$\displaystyle +z^{\prime}\left( x\right) \left( 2a\left( x\right) h^{\prime}\le... ...t) \right) +z^{\prime\prime }\left( x\right) a\left( x\right) h\left( x\right)$
$\displaystyle d\left( x\right)$	$\displaystyle =z^{\prime}\left( x\right) \left( 2a\left( x\right) h^{\prime}\l... ...t) \right) +z^{\prime\prime}\left( x\right) a\left( x\right) h\left( x\right)$

$\displaystyle z^{\prime}\left( x\right)$	$\displaystyle =K\exp\left( -\int\dfrac{\left( 2a\left( x\right) h^{\prime}\lef... ...ght) h\left( x\right) \right) }{a\left( x\right) h\left( x\right) }\,dx\right)$
	$\displaystyle =K\exp\left( -\int\frac{2h^{\prime}\left( x\right) }{h\left( x\right) }+\frac{b\left( x\right) }{a\left( x\right) }\,dx\right)$
	$\displaystyle =\dfrac{K}{\left( h\left( x\right)\right) ^{2}}\exp\left( -\int\frac{b\left( x\right) }{a\left( x\right) }\,dx\right)$