Définition : Soit , continue sur
un ouvert de
. Une équation différentielle du premier ordre est une équation du type :
(1) |
Une solution de (1) est une fonction de classe sur
un intervalle de
telle que :
Théorème : On utilise les notations de la définition précédente. Si , il existe, sous certaines conditions, un intervalle
et une solution unique sur
, vérifiant
.
Une telle solution permet de définir unecourbe intégrale de (1).
Définition : L'équation (1) est dite à variables séparables lorsque, en posant , (1) peut se mettre sous la forme :
(2) |
Théorème : On obtient une courbe intégrale de (2) en primitivant chacun de ses membres. Soit, en tenant compte des conditions initiales :
Ce qui entraine, en appelant et
deux primitives respectives de
et
:
En particulier, si l'équation (1) est incomplète, c'est à dire s'il manque ou
, alors, elle est à variables séparables :
Définition : avec
et
continues sur
un ouvert de
, est un système autonome de deux équations différentielles.
Une solution est appelée trajectoire du système autonome.
Soit l'équation différentielle , on pose
Il est facile d'intégrer cette dernière équation, cela donne :
, valeur que l'on reporte dans la première :
.
Il est encore facile d'intégrer cette équation, cela donne cette fois : .
Finalement, on a les courbes intégrales en paramétriques :