Chapitre 20 : Equations et Systèmes Différentiels

3 Equations Différentielles non Linéaires du $ 1^{er}$ ordre

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3 Equations Différentielles non Linéaires du $ 1^{er}$ ordre

3.1 Equation différentielle du premier ordre

Définition :   Soit $ f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$, continue sur $ \mathcal{U}$ un ouvert de $ \mathbb{R}^{2}$. Une équation différentielle du premier ordre est une équation du type :

$\displaystyle y^{\prime}=f\left( x,y\right)$

(1)


Une solution de (1) est une fonction de classe $ \mathcal{C}^{1}$ sur$ I$ un intervalle de $ \mathbb{R}:x\rightarrow y\left( x\right) $ telle que :

$\displaystyle \forall x\in I,$ $\displaystyle y^{\prime}\left( x\right) =f\left( x,y\left( x\right) \right) $

Théorème :   On utilise les notations de la définition précédente. Si $ \left( x_{0},y_{0}\right) \in\mathcal{U}$, il existe, sous certaines conditions, un intervalle $ I$ et une solution unique sur $ I:y$, vérifiant$ y\left( x_{0}\right) =y_{0}$.
Une telle solution permet de définir unecourbe intégrale de (1).

3.2 Equation différentielle du premier ordre à variables séparables

Définition :   L'équation (1) est dite à variables séparables lorsque, en posant $ y^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{\,dy}{\,dx}$, (1) peut se mettre sous la forme :

$\displaystyle \varphi\left( x\right) \,dx=\psi\left( y\right) \,dy$

(2)


Théorème :   On obtient une courbe intégrale de (2) en primitivant chacun de ses membres. Soit, en tenant compte des conditions initiales :

$\displaystyle \int_{x_{0}}^{x}\varphi\left( x\right) \,dx=\int_{y_{0}}^{y}\psi\left( y\right) \,dy $

Ce qui entraine, en appelant $ \Phi$ et $ \Psi$ deux primitives respectives de$ \varphi$ et $ \psi$ :

$\displaystyle \Phi\left( x\right) -\Phi\left( x_{0}\right) =\Psi\left( y\right) -\Psi\left( y_{0}\right) $

En particulier, si l'équation (1) est incomplète, c'est à dire s'il manque $ x$ ou $ y$, alors, elle est à variables séparables :

3.3 Système autonome de 2 équations différentielles

Définition :   \begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{l} \dfrac{\,dx}{\,dt}=\varphi(x,y)\\ \dfrac{\,dy}{\,dt}=\psi(x,y) \end{array} \right\} \end{displaymath} avec $ \varphi$ et $ \psi$ continues sur $ \mathcal{U}$ un ouvert de $ \mathbb{R}^{2}$, est un système autonome de deux équations différentielles.
Une solution est appelée trajectoire du système autonome.

3.3.1 Système autonome et équation différentielle

3.3.2 Exemple

Soit l'équation différentielle $ y^{\prime}=\dfrac{1+y}{2x+y}$, on pose\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \dfrac{\,dx}{\,dt}=2x+y\\ \dfrac{\,dy}{\,dt}=1+y \end{array} \right. \end{displaymath} Il est facile d'intégrer cette dernière équation, cela donne :$ y=\lambda e^{t}-1$, valeur que l'on reporte dans la première :$ \dfrac{\,dx}{\,dt}=2x+\lambda e^{t}-1$.
Il est encore facile d'intégrer cette équation, cela donne cette fois : $ x=\mu e^{t}-\lambda e^{t}+\dfrac{1}{2}$.
Finalement, on a les courbes intégrales en paramétriques : \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=\mu e^{t}-\lambda e^{t}+\dfrac{1}{2}\\ y=\lambda e^{t}-1 \end{array} \right. \end{displaymath}

3.3.3 Intégration d'un système autonome


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing