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Le principe de la méthode d'Euler est très simple. On va l'appliquer à une équation différentielle du premier ordre :
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On cherche une solution approchée vérifiant la condition initiale. Pour cela, on choisit un pas 
, on écrit :
et on approxime : 
. On pose alors :
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Ensuite, on calcule : 
, et on pose :
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On recommence jusqu'à avoir une solution approchée sur l'intervalle désiré.
La méthode d'Euler est applicable aux autres équations différentielles et systèmes différentiels.
Avec, par exemple, une équation différentielle du second ordre :
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On choisit , avec les approximations, on pose : ![\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x_{1}=x_{0}+\Delta x\\ y_{1}=... ...0},y_{0}^{\prime}\right) \times\Delta x \end{array} \right. \end{displaymath}](img230.png)
On recommence ensuite à partir de 
et 
... pour calculer 
et 
...
La méthode d'Euler a l'avantage de toujours être applicable.
L'inconvénient essentiel est du à l'accumulation des erreurs qui peuvent faire que, rapidement, la fonction calculée point par point n'a plus de rapport avec la solution cherchée. Géométriquement, il est facile d'observer que si les courbes intégrales ont de fortes courbures en certains points, la méthode dérive vite et donne des courbes sans rapport avec les courbes intégrales.
Par ailleurs, un petit pas allonge les calculs et un grand pas augmente les erreurs...
