Chapitre 3 : Suites Récurrentes Linéaires

2.1 $u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=0$

Théorème : L'ensemble des suites vérifiant $\forall n\in\mathbb{N},\quad u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=0$ est un $\mathbb{K}$ -e.v. de dimension 2.

Preuve. La structure d'espace vectoriel est donnée par le fait que c'est le noyau d'une application linéaire.
Une suite est déterminée par ses deux premiers termes. On considère $\left( \alpha_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ et $\left( \beta_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ telles que $\alpha_{0}=1$ , $\alpha_{1} =0$ , $\beta_{0}=0$ , $\beta_{1}=1$ .
La suite $\left( v_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ définie par

$\displaystyle v_{n}=u_{0}\,\alpha_{n}+u_{1}\,\beta_{n}$

vérifie la relation de récurrence et $v_{0}=u_{0}$ , $v_{1}=u_{1}$ , ce qui prouve que $\left( v_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}=\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ et donc $\left( \alpha_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ et $\left( \beta_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ forment une famille génératrice, donc une base de l'ensemble des solutions. $\qedsymbol$

En pratique, on recherche les suites géométriques de raison non nulle

vérifiant

$\displaystyle u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=0$

ce qui revient à chercher les solutions de

$\displaystyle r^{2}+a\,r+b=0$

2 racines distinctes $r_{1},r_{2}\quad\left( \text{ce qui correspond sur }\mathbb{C},\text{ \\lq {a} }\Delta\neq0,\quad\text{ou sur }\mathbb{R},\text{ \\lq {a} }\Delta>0\right)$ On a alors

$\displaystyle \left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}=\left( \alpha\, r_{1}^{n}+\beta\, r_{2}^{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$

1 racine double $r\quad\left( \text{ce qui correspond \\lq {a} } \Delta=0\right)$ Montrons que $\left( nr^{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ vérifie aussi la relation de récurrence.

$\displaystyle \left( n+2\right) r^{n+2}+a\left( n+1\right) r^{n+1}+b\,n\,r^{n}$	$\displaystyle =n\,r^{n}\left( r^{2}+a\,r+b\right) +r^{n+1}\left( 2r+a\right)$
	$\displaystyle =0$ car $\displaystyle r=\dfrac{-a}{2}$

L'ensemble des solutions est donc

$\displaystyle \left( \alpha \,r^{n}+\beta\, n\,r^{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$

Pas de racine $\left( \text{ce qui correspond sur }\mathbb{R},\text{ \\lq {a} }\Delta<0\right)$
On résout sur $\mathbb{C}$ , $r_{2}=\overline{r_{1}}$ , $r_{1}=\left\vert r\right\vert e^{i\theta}$ , $\left( \left\vert r\right\vert ^{n}e^{in\theta}\right)$ et $\left( \left\vert r\right\vert ^{n}e^{-in\theta}\right)$ sont donc solution sur $\mathbb{C}$ .
Ce qui fait que $\left( \left\vert r\right\vert ^{n}\cos n\theta\right)$ et $\left( \left\vert r\right\vert ^{n}\sin n\theta\right)$ sont solution sur $\mathbb{C}$ par combinaison linéaire de solutions.
Mais ces solutions sont réelles et donc aussi solution sur $\mathbb{R}!!!$ Elles forment clairement une famille libre et forment donc une base de l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ .
Les solutions sont donc

$\displaystyle \left( \alpha\left\vert r\right\vert ^{n}\cos n\theta+\beta\left\vert r\right\vert ^{n}\sin n\theta\right) _{n\in\mathbb{N}}$

2.2 $u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=c$

On cherche donc une solution particulière sous la forme...

une suite constante $u_{n}=k$ On obtient $k\left( 1+a+b\right) =c$ , on a donc une solution quand $1+a+b\neq0$ .

quand $\left( 1+a+b=0\right)$ , on cherche une suite arithmétique $u_{n}=k\,n$ On obtient $k\left( \left( n+2\right) +\left( n+1\right) a+n\,b\right) =c$ , d'où $k\left( 2+a\right) =c$ , on a donc une solution quand $2+a\neq0$ .

quand on a à la fois : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{rl} 1+a+b & =0\\ 2+a & =0 \end{array} \right\} \end{displaymath}$ , on cherche une suite $u_{n}=k\,n^{2}$ On obtient $k\left( \left( n+2\right) ^{2}+\left( n+1\right) ^{2} a+n^{2}b\right) =c$ , d'où $k\left( 4+a\right) =c$ et donc

.
On a donc toujours une solution.

Une fois qu'on a l'expression générale de la solution, on tient compte des conditions initiales éventuelles.

2 Suites vérifiant $u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=c$

2 Suites vérifiant $u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=c$

2.1 $u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=0$

2.2 $u_{n+2}+a\,u_{n+1}+b\,u_{n}=c$