Chapitre 4 : Réduction des Endomorphismes

1 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

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1 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

$ E$ est un espace vectoriel sur $ \mathbb{K}$ $ \left( \mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}\right) $ de dimension $ n$, $ n\in\mathbb{N}^{\ast}$. $ \mathcal{B}$ est une base de $ E$.$ \varphi$ est un endomorphisme de $ E$.

1.1 Polynôme caractéristique

Définition :   On appelle polynôme caractéristique de $ \varphi$ le déterminant de$ \varphi-\lambda.Id_{E}$ noté

$\displaystyle P_{\varphi}\left( \lambda\right) =\det\left( \varphi-\lambda.Id_{E} \right) $

Théorème :   $ P_{\varphi}\left( \lambda\right) $ est un polynôme de degré $ n$ en$ \lambda$. Son terme de plus haut degré est $ \left( -1\right)^{n}\lambda^{n}$.
Son terme constant est $ \det\left( \varphi\right) $.
Il se calcule par $ P_{\varphi}\left( \lambda\right) =\det\left( A-\lambda .I_{n}\right) $ où $ A=\mathcal{M}_{B}\left( \varphi\right) $ et $ I_{n}$ est la matrice idéntité.

Preuve.$ A-\lambda.I_{n}$ est la matrice dans la base $ \mathcal{B}$ de $ \varphi-\lambda.Id_{E}$ et comme un déterminant se calcule dans n'importe quelle base, on a $ P_{\varphi}\left( \lambda\right) =\det\left( A-\lambda .I_{n}\right) $.

\begin{displaymath} P_{\varphi}\left( \lambda\right) =\left\vert \begin{array}... ...lta _{2,1}+\cdots+\left( -1\right) ^{n+1}a_{n,1}\Delta_{n,1} \end{displaymath}

Par récurrence, $ -a_{2,1}\Delta_{2,1}+\cdots+\left( -1\right) ^{n+1}a_{n,1}\Delta_{n,1}$ ne peut contenir de terme en $ \lambda^{n}$, donc le terme de plus haut degré est celui de $ \left( a_{1,1}-\lambda\right) \Delta_{1,1}$, c'est à dire celui de $ -\lambda\Delta_{1,1}$.
Par récurrence, c'est donc $ \left( -1\right)^{n}\lambda^{n}$. Enfin, $ \lambda=0$ fournit le terme constant $ P_{\varphi}\left( 0\right) =\det\left( \varphi-0.Id_{E}\right) =\det\left( \varphi\right) $. $ \qedsymbol$

Théorème :   Les racines sur $ \mathbb{K}$ de $ P_{\varphi}\left( \lambda\right) $ sontexactement « les » valeurs propres de $ \varphi$.

Preuve. Si $ \lambda_{i}$ est valeur propre de $ \varphi,\left( \varphi-\lambda _{i}.Id_{E}\right) $ n'est pas injective, donc n'est pas un isomorphisme et donc son déterminant est nul.
Réciproquement, si $ \det\left( \varphi-\lambda_{i}.Id_{E}\right) =0$,$ \left( \varphi-\lambda_{i}.Id_{E}\right) $ n'est pas injective,$ \ker\left( \varphi-\lambda_{i}.Id_{E}\right) \neq\left\{ 0\right\} $ et donc $ \lambda_{i}$ est valeur propre de $ \varphi$. $ \qedsymbol$

Théorème :   Si la matrice d'un endomorphisme dans une certaine base est triangulaire, les valeurs propres de cet endomorphismes sont les termes de la diagonale de cette matrice.

Preuve.$ \det\left( A-\lambda.I_{n}\right) $ est le produit des éléments diagonaux, car cette matrice est toujours triangulaire.
Les racines de ce polynôme en $ \lambda$ sont bien les éléments de la diagonale de$ A$. $ \qedsymbol$

1.2 Ordre de multiplicité des valeurs propres, dimension des sous espaces propres

Définition :   L'ordre de multiplicité de $ \lambda_{i}$ racine de $ P_{\varphi}\left( \lambda\right) $ est l'ordre de multiplicité de $ \lambda_{i}$ valeur propre de $ \varphi$.

On parle donc de valeur propre simple, double, multiple...

Remarque :   Chaque valeur propre est toujours donnée avec son ordre de multiplicité.

Théorème :   Pour $ \lambda_{i}$ valeur propre de $ \varphi$,

$\displaystyle 1\leqslant\dim E_{\lambda_{i}}\leqslant$Ordre de multiplicité de lavaleur propre $\displaystyle \lambda_{i} $

Preuve. Comme $ \lambda_{i}$ est valeur propre de $ \varphi$, $ \dim E_{\lambda_{i} }\geqslant1$. Soit $ p=\dim E_{\lambda_{i}}$ et $ \left( e_{1},e_{2},\ldots ,e_{p}\right) $ une base de $ E_{\lambda_{i}}$ qu'on complète par $ \left( e_{p+1},\ldots,e_{n}\right) $ en une base de $ E$.
Dans cette base, $ \varphi$ a pour matrice \begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccccccc} \lambda_{i} & 0 & \ldots &... ...ldots & 0 & a_{n,p+1} & \ldots & a_{n,n} \end{array} \right) \end{displaymath} d'où

$\displaystyle P_{\varphi}\left( \lambda\right)$

$\displaystyle =\left\vert \begin{array}[c]{ccccccc} \lambda_{i}-\lambda & 0 &... ...s & \ldots & 0 & a_{n,p+1} & \ldots & a_{n,n}-\lambda \end{array} \right\vert$

   

 

$\displaystyle =\left( \lambda_{i}-\lambda\right) ^{p}\left\vert \begin{array}[... ...s & & \vdots\\ a_{n,p+1} & \ldots & a_{n,n}-\lambda \end{array} \right\vert$

   


en remarquant par exemple que la matrice est triangulaire par blocs.
Ceci prouve que $ \lambda_{i}$ est racine de $ P_{\varphi}\left( \lambda\right) $ d'ordre au moins $ p$. $ \qedsymbol$

Remarque :   Si $ \lambda_{i}$ est une valeur propre simple, alors $ \dim E_{\lambda_{i}}=1$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing