Chapitre 4 : Réduction des Endomorphismes

2 Diagonalisation d'un endomorphisme en dimension finie

Sous-sections

2 Diagonalisation d'un endomorphisme en dimension finie

2.1 Diagonalisibilité

Définition : Un endomorphisme $\varphi$ de est diagonalisable $\Leftrightarrow E$ possède une base formée de vecteurs propres de $\varphi$

Remarque : Dans une base de vecteurs propres, la matrice de $\varphi$ est diagonale. Les valeurs propres se trouvent sur la diagonale, chacune autant de fois que son ordre de multiplicité.

2.2 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisibilité

Théorème : de dimension , $\varphi\in\mathcal{L}\left( E\right)$ , $\varphi$ est diagonalisable $\Leftrightarrow$ la somme des dimensions des sous espaces propres est .

La démonstration est admise.

Théorème : (Condition nécessaire et suffisante) $\varphi$ est diagonalisable $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} P_{\varphi}\left... ...rdre de multiplicit\'{e} de }\lambda_{i} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Remarque : Un polynôme scindé est un polynôme qui peut se factoriser en produit d'expressions du 1 $^{er}$ degré. $X^{2}+2X+1$ est scindé sur $\mathbb{R}$ comme sur $\mathbb{C}$ , $X^{2}+X+1$ est scindé sur $\mathbb{C}$ mais pas sur $\mathbb{R}$ . En particulier, sur $\mathbb{C}$ , tous les polynômes sont scindés.

En pratique :

Si le polynôme caractéristique n'est pas scindé (c'est à dire qu'on travaille sur $\mathbb{R}$ et $P_{\varphi}\left( \lambda\right)$ possède des racines complexes non réelles), alors $\varphi$ n'est pas diagonalisable.
Exemple : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} 2 & -1\\ 1 & 2 \end{array} \right) \end{displaymath}$ Son polynôme caractéristique est : $4\lambda ^2+1$ qui n'a pas de racines réelles, et donc, cette matrice n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R.}$
Si le polynôme caractéristique est scindé, la somme des ordres de multiplicité des valeurs propres est , $\varphi$ est diagonalisable $\Leftrightarrow$ la dimension de chaque sous espace propre est égale à l'ordre de multiplicité de cette valeur propre.
Remarque : Il suffit de regarder cette égalité pour les seules valeurs propres multiples.
Exemple : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{array} \right) \end{displaymath}$ n'est pas diagonalisable. En effet, 2 est valeur propre double et le sous-espace propre n'est pas de dimension 2, puisqu'alors tout vecteur serait propre pour la valeur propre 2, ce qui n'est pas le cas du deuxième vecteur de la base.

Théorème : (condition suffisante) Si $\varphi$ admet valeurs propres distinctes, alors $\varphi$ est diagonalisable.

Preuve. Toutes les valeurs propres sont simples, chaque sous espace propre est donc de dimension 1... $\qedsymbol$

Remarque : Dans le cas où l'endomorphisme est diagonalisable, on obtient une base de vecteurs propres en mettant bout à bout une base de chaque sous espace propre.