Chapitre 4 : Réduction des Endomorphismes

3 Réduction d'un endomorphisme non diagonalisable

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3 Réduction d'un endomorphisme non diagonalisable

3.1 Trigonalisation

Théorème : de dimension , $\varphi\in\mathcal{L}\left( E\right)$ , tel que le polynôme caractéristique de $\varphi$ est scindé, alors il existe une base où la matrice de $\varphi$ est triangulaire.
Les valeurs propres se trouvent sur la diagonale, chacune autant de fois que son ordre de multiplicité.

La démonstration est admise.

3.2 Recherche d'une base trigonalisante

On va travailler sur un exemple courant : est de dimension 3, $\lambda_{1}$ est valeur propre simple, $\lambda_{2}$ valeur propre double de $\varphi$ . De plus $\dim E_{\lambda_{1}}=\dim E_{\lambda_{2}}=1$ .
$\varphi$ n'est donc pas diagonalisable mais est trigonalisable.
En principe, dans une telle recherche, l'énoncé doit vous guider. Ici,

On cherche $e_{1}$ base de $E_{\lambda_{1}}$
On cherche $e_{2}$ base de $E_{\lambda_{2}}$
On cherche $e_{3}$ tel que $\left( \varphi-\lambda_{2}.Id_{E}\right) \left( e_{3}\right) =e_{2}$
On vérifie que $\left( e_{1},\,e_{2},\,e_{3}\right)$ est bien une base de Dans cette base, la matrice de $\varphi$ est $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda_{1} & 0 & 0\\ 0 & \lambda_{2} & 1\\ 0 & 0 & \lambda_{2} \end{array} \right) \end{displaymath}$

3.3 Triangularisation d'un endomorphisme ou d'une matrice nilpotents

Rappelons qu'une matrice est nilpotente si et seulement si il existe tel que $A^{p}=0$ .
On a la même définition pour un endomorphisme nilpotent.
Si est un vecteur propre de pour la valeur propre $\lambda$ , alors il est aussi vecteur propre de $A^{p}$ pour la valeur propre $\lambda^{p}$ .
Que l'on travaille sur $\mathbb{C}$ ou sur $\mathbb{R},$ le polynôme caractéristique est scindé et l'unique valeur propre est nulle.
est donc semblable à une matrice strictement triangulaire.
On peut même montrer que est semblable à une matrice de la forme $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccccc} 0 & \varepsilon_{1} & 0 & \c... ...-1}\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ où les $\varepsilon_{i}$ valent 0 ou 1. Mais ceci est hors-programme.