Chapitre 4 : Réduction des Endomorphismes

4 Réduction d'une matrice carrée $n\times n$

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4 Réduction d'une matrice carrée $n\times n$

4.1 Principe général

Soit une matrice carrée $n\times n$ sur $\mathbb{K}$ , elle est donc aussi la matrice d'un endomorphisme de $\mathbb{K}^{n}$ dans la base canonique.
Les résultats obtenus pour cet endomorphisme sont appliqués à cette matrice.
Le polynôme caractéristique de la matrice est celui de l'endomorphisme.

Remarque : Si le polynôme caractéristique est scindé, la trace est la somme des valeurs propres.

Théorème : Si est diagonalisable, de valeurs propres $\lambda_{1},\,\lambda_{2} ,\ldots,\,\lambda_{n}$ distinctes ou confondues, de vecteurs propres associés $e_{1},\,e_{2},\ldots,\,e_{n}$ .
On appelle la matrice de passage constituée en colonnes, et dans cet ordre, des coordonnées de $e_{1},\,e_{2},\ldots,\,e_{n}$ écrits dans la base d'origine.
Alors

$\begin{displaymath} D=P^{-1}AP=\left( \begin{array}[c]{cccc} \lambda_{1} & 0 ... ...ts & 0\\ 0 & \ldots & 0 & \lambda_{n} \end{array} \right) \end{displaymath}$

On ne suivra la méthode donnée que si est « petit » et quand l'énoncé ne guide pas vers une autre.

4.2 Recherche de la diagonalisibilité

On calcule .
- Si $P_{A}\left( \lambda\right)$ n'est pas scindé, n'est pas diagonalisable. On a terminé.
On factorise , en particulier, on cherche les valeurs propres multiples.
- S'il n'y en a pas, est diagonalisable. On a terminé.
On cherche la dimension de chaque sous espace propre associé à une valeur propre multiple.
On utilisera parfois $\dim E_{\lambda_{i}}=n-rang\left( A-\lambda_{i} .I_{n}\right)$ .
- Si chaque dimension est l'ordre de multiplicité de la valeur propre, est diagonalisable. On a terminé.
- Sinon, n'est pas diagonalisable. On a terminé.

4.3 Diagonalisation

Dans ce paragraphe, on supposera que est effectivement diagonalisable.

Calculer $P_{A}\left( \lambda\right)$ .
Factoriser $P_{A}\left( \lambda\right)$ , chercher les valeurs propres.
Pour chaque valeur propre, chercher une base du sous espace propre associé.
On obtient une base de vecteurs propres en mettant bout à bout les différentes bases des sous espaces propres.

4.4 Matrice symétrique réelle

Théorème : Une matrice symétrique réelle est diagonalisable avec, au besoin, une matrice de passage orthogonale.

Ce théorème, très utile en pratique, n'est ici que pour mémoire, on se reportera au chapitre suivant.

4.5 Utilisation de la trace

Rappelons que la trace d'une matrice est une notion hors-programme souvent présente dans les problèmes.
La trace d'un endomorphisme est la somme de éléments diagonaux de sa matrice dans une base quelconque.
Ce qui nous donne :

Théorème : Quand le polynome caractéristique est scindé, la trace d'un endomorphisme, qui est la somme des éléments diagonaux de sa matrice dans une base quelconque, est égale à la somme des valeurs propres.

Preuve. Il suffit de se placer dans une base où la matrice est triangulaire.
Les valeurs propres sont alors sur la diagonale. $\qedsymbol$

Ceci permet souvent de vérifier la cohérence des calculs de valeurs propres...

4.6 Diagonalisibilité et diagonalisation

Quand une matrice est diagonalisable, une erreur courante est de dire que, dans une certaine base, est diagonale, ce qui est bien sûr grossièrement faux et même stupide.
On a simplement une matrice de passage et une matrice diagonale telles que $A=PDP^{-1}$ ou bien $D=P^{-1}AP$ .

La confusion provient de ce que et sont les matrices d'un même endomorphisme dans deux bases différentes...
Il est par contre exact de dire que si un endomorphisme est diagonalisable, et s'il est de matrice dans la base $\mathcal{B}$ , il existe une base $\mathcal{B}'$ dans laquelle sa matrice est , diagonale. étant la matrice de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ , on a alors : $A=PDP^{-1}$ et $D=P^{-1}AP$ .

4.7 Forme ultime en dimension 3

On considère ici un endomorphisme en dimension 3 dont le polynôme caractéristique est scindé.
On va décrire lameilleure forme que peut avoir sa matrice dans une certaine base, selon les ordres de multiplicité des valeurs propres et la dimension des sous-espaces propres associés.

4.7.1 Trois valeurs propres simples

L'endomorphisme est diagonalisable et a pour matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \mu & 0\\ 0 & 0 & \nu \end{array} \right) \end{displaymath}$ dans une base bien choisie.

4.7.2 Deux valeurs propres, une simple et une double

Si l'endomorphisme est diagonalisable, il a pour matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \mu \end{array} \right) \end{displaymath}$ dans une base bien choisie.
Si l'endomorphisme n'est pas diagonalisable, il a pour matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \mu \end{array} \right) \end{displaymath}$ dans une base bien choisie.
On constitue cette base comme dans l'exemple étudié au paragraphe 3.2.

4.7.3 Une valeur propre triple

Si l'endomorphisme est diagonalisable, il a pour matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda \end{array} \right) \end{displaymath}$ dans une base bien choisie.
C'est l'homothétie de rapport $\lambda$ . L'endomorphisme a d'ailleurs cette matrice dans n'importe quelle base ...
Si l'endomorphisme n'est pas diagonalisable, il a pour matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda \end{array} \right) \end{displaymath}$ si le sous-espace propre est de dimension 2 ou $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda \end{array} \right) \end{displaymath}$ si le sous-espace propre est de dimension 1, toujours dans une base bien choisie. Ici, l'énoncé doit vous guider dans la recherche de cette base.

4.8 Exemple

On va diagonaliser la matrice $\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}[c]{cccc} 0 & \cdots & 0 & 1\\ \vdo... ... & \cdots & 0 & 1\\ 1 & \cdots & 1 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ avec $n\geqslant3.$
Cette matrice est symétrique réelle, donc diagonalisable.

4.8.1 Première méthode

La matrice est clairement de rang 2, 0 est donc valeur propre d'ordre exactement compte tenu de la diagonalisibilité.
Le sous-espace propre, qui est le noyau, est facile à déterminer, il est défini par $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x_{n}=0\\ x_{1}+\cdots+x_{n-1}=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$
Il ne nous manque que la ou les deux valeurs propres non nulles. Compte tenu de la trace nulle, ce sont deux valeurs propres opposées.
On cherche les vecteurs $\begin{displaymath}X=\left( \begin{array}[c]{c} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{array} \right) \end{displaymath}$ tels que $AX=\lambda X,$ avec $\lambda\neq0,$
ce qui donne $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x_{n}=\lambda x_{1}\\ x_{n}=\... ...}\\ x_{1}+\cdots+x_{n-1}=\lambda x_{n} \end{array} \right. \end{displaymath}$ ou encore $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x_{n}=\lambda x_{1}\\ x_{1}=x... ...\left( n-1\right) x_{1}=\lambda^{2}x_{1} \end{array} \right. \end{displaymath}$
On utilise alors cette dernière équation. $x_{1}=0$ entraîne ce qui est impossible.
On a donc $\lambda =\pm\sqrt{n-1}$ qui sont les deux autres valeurs propres.
Les sous-espaces propres correspondants sont engendrés par $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ \vdots\\ 1\\ \lambda \end{array} \right) .\end{displaymath}$

4.8.2 Deuxième méthode

On va plus classiquement chercher le polynôme caractéristique. $\begin{displaymath}\Delta_{n}=\left\vert \begin{array}[c]{ccccc} -\lambda & 0 ... ...t _{n-1} \\ =-\lambda\Delta_{n-1}-\left( -\lambda\right) ^{n-2}\end{displaymath}$ en développant selon la première ligne puis le déterminant restant selon la première colonne.
On obtient finalement $\Delta_{n}=\left( -1\right) ^{n}\left( \lambda ^{n}-\left( n-1\right) \lambda^{n-2}\right)$ par simple récurrence facile à obtenir.
Ce qui fournit bien sûr les mêmes valeurs propres qu'avec la méthode précédente.
Il ne reste qu'à chercher les sous-espaces propres correspondants.