Chapitre 4 : Réduction des Endomorphismes

5 Puissances de matrices

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5 Puissances de matrices

Un problème courant est de calculer la puissance $ m^{\grave{e}me}$ d'une matrice. Même si l'énoncé doit vous guider, on passe ici en revue quelques cas habituels.

5.1 Matrice diagonalisable

$\displaystyle D=P^{-1}AP $

et donc

$\displaystyle A$

$\displaystyle =PDP^{-1}$

   

$\displaystyle A^{2}$

$\displaystyle =PDP^{-1}PDP^{-1}=PD^{2}P^{-1}$

   


et par récurrence très facile

$\displaystyle A^{m}=PD^{m}P^{-1} $

de plus, si\begin{displaymath} D=\left( \begin{array}[c]{cccc} \lambda_{1} & 0 & \ldots ... ...ts & 0\\ 0 & \ldots & 0 & \lambda_{n} \end{array} \right) \end{displaymath} alors\begin{displaymath} D^{m}=\left( \begin{array}[c]{cccc} \lambda_{1}^{m} & 0 &... ... 0\\ 0 & \ldots & 0 & \lambda_{n}^{m} \end{array} \right) \end{displaymath}
Il ne reste « qu'un calcul » de produit de 3 matrices pour calculer $ A^{m}$.

5.2 Utilisation d'une matrice dont une puissance est nulle

Si $ A=\left( B+C\right) $, avec $ BC=CB$, alors $ A^{m}=\sum\limits_{k=0} ^{m}\mathcal{C}_{m}^{k}B^{m-k}C^{k}$ par la formule du binôme.
Si, de plus, $ C^{3}=0$ par exemple, alors $ A^{m}=\sum\limits_{k=0} ^{2}\mathcal{C}_{m}^{k}B^{m-k}C^{k}$ car tous les autres termes sont nuls.
Comme enfin, dans ce cas, on connait les puissances de $ B$ (qui est le plus souvent diagonale...).
Heureusement que l'énoncé vous guide. Il arrive qu'on utilise une combinaison des deux méthodes précédentes quand la matrice est simplement trigonalisable.
Si $ A$ est semblable à \begin{displaymath}A'=\left( \begin{array}[c]{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \la... ...} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}.
La puissance $ m^{\grave{e}me}$ de la première matrice est facile à obtenir, la deuxième est bien nilpotente et elles commutent...
On calcule donc $ A'^{m}$ selon la deuxième méthode puis $ A^{m}$ avec la matrice de passage.

5.3 Utilisation d'un polynôme annulateur

Supposons par exemple que

$\displaystyle A^{2}-3A+2I_{n}=0 $

On va montrer deux façons classiques de procéder.

5.3.1 Par division euclidienne de polynômes

On factorise

$\displaystyle X^{2}-3X+2 =\left( X-1\right) \left( X-2\right) $

Par simple divion euclidienne, on écrit :

$\displaystyle X^{m}=Q\left( X\right) \left( X-1\right) \left( X-2\right) +aX+b $

On pose alors successivement $ X=1$ puis $ X=2$. Ce qui donne \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{c} 1=a+b\\ 2^{m}=2a+b \end{array} \right. \end{displaymath} d'où \begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{c} a=2^{m}-1\\ b=2-2^{m} \end{array} \right. \end{displaymath} et enfin

$\displaystyle A^{m}=\left( 2^{m}-1\right) A+\left( 2-2^{m}\right) I_{n} $

Cette méthode est intéressante quand le degré du polynôme annulateur est petit.
Elle est applicable quelle que soit la dimension de la matrice $ A$.

5.3.2 Par suites récurrentes linéaires

On a :

$\displaystyle A^{2}$

$\displaystyle =3A-2I_{n}$

   

$\displaystyle A^{3}$

$\displaystyle =3A^{2}-2A$

   

 

$\displaystyle =3\left( 3A-2I_{n}\right) -2A$

   

 

$\displaystyle =7A-6I_{n}$

   


Par récurrence immédiate, les puissances de $ A$ sont donc combinaison linéaire de $ A$ et de $ I$ :

$\displaystyle A^{m} =a_{m}A+b_{m}I_{n} $

On écrit alors $ A^{m+1}$ de 2 façons :

$\displaystyle A^{m+1}$

$\displaystyle =a_{m}A^{2}+b_{m}A$

   

 

$\displaystyle =a_{m}\left( 3A-2I_{n}\right) +b_{m}A$

   

 

$\displaystyle =\left( 3a_{m}+b_{m}\right) A-2a_{m}I_{n}$

   

 

$\displaystyle =a_{m+1}A+b_{m+1}I_{n}$

   


Ce qui donne :

$\displaystyle a_{m+1}$

$\displaystyle =3a_{m}+b_{m}$

   

$\displaystyle b_{m+1}$

$\displaystyle =-2a_{m}$

   


Ou encore :

$\displaystyle a_{m+2}=3a_{m+1}-2a_{m} $

Il ne reste qu'à rechercher, en tenant compte des conditions initiales, cette suite récurrente linéaire.

© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing