Chapitre 5 : Algèbre Bilinéaire, Produit Scalaire

2 Norme dérivant d'un produit scalaire

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2 Norme dérivant d'un produit scalaire

2.1 Norme sur

Définition : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{lll} E & \rightarrow & \mathbb{R}_... ... u & \mapsto & \left\Vert u\right\Vert \end{array} \right. \end{displaymath}$ est une norme $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} \forall u,v\in E... ...0\Leftrightarrow u=0\text{ (séparation)} \end{array} \right. \end{displaymath}$
La norme d'un vecteur est souvent notée $\left\Vert u\right\Vert$

Remarque : Même si on parle souvent de la norme d'un vecteur, il y a des infinités de normes différentes...

Exemple : $E=\mathbb{R}^{2}$ , $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \left\Vert \left( x,y\right) \r... ...ert \right) \text{ en est une troisième} \end{array} \right. \end{displaymath}$

2.2 Norme dérivant d'un produit scalaire

Théorème : Soit $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle$ un produit scalaire sur , alors : $\left\Vert u\right\Vert =\sqrt{\left\langle u,u\right\rangle }=\sqrt{q\left( u\right) }$ est une norme sur .

Preuve. $\left\Vert \lambda.u\right\Vert =\sqrt{\left\langle \lambda.u,\lambda .u\righ... ...gle u,u\right\rangle }=\left\vert \lambda\right\vert \left\Vert u\right\Vert$ d'autre part, $\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}=\sqrt{\left\langle u+v,u+v\right\rangle } ^{2}... ...\right\rangle +2\left\langle u,v\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle$ d'où, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}\leqslant\left\Vert u\right\Vert ^{2}+2\left\Ver... ...rt ^{2}=\left( \left\Vert u\right\Vert +\left\Vert v\right\Vert \right) ^{2}$ ce qui donne la deuxième relation.
Enfin : $\left\Vert u\right\Vert =0\Leftrightarrow\sqrt{\left\langle u,u\right\rangle }=0\Leftrightarrow\left\langle u,u\right\rangle =0\Leftrightarrow u=0$ $\qedsymbol$

Tout produit scalaire induit donc une norme sur , souvent appelée norme euclidienne.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz se réécrit alors :

$\displaystyle \left\vert \left\langle u,v\right\rangle \right\vert \leqslant\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert$

Par contre, toutes les normes ne proviennent pas d'un produit scalaire...
On verra des contre-exemples dans le chapitre suivant.

2.3 Théorème de Pythagore

Théorème : $\left\Vert \cdot\right\Vert$ une norme euclidienne et $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle$ son produit scalaire, alors $\forall u,v\in E$ ,

$\displaystyle \left\Vert u+v\right\Vert ^{2}=\left\Vert u\right\Vert ^{2}+\left\Vert v\right\Vert ^{2}+2\left\langle u,v\right\rangle$

Corollaire : $\left\Vert \cdot\right\Vert$ une norme euclidienne et $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle$ son produit scalaire, alors

$\displaystyle \left\Vert u+v\right\Vert ^{2}=\left\Vert u\right\Vert ^{2}+\left\Vert v\right\Vert ^{2}\Leftrightarrow\left\langle u,v\right\rangle =0$

La démonstration a été faite dans la démonstration du théorème précédent.