Chapitre 5 : Algèbre Bilinéaire, Produit Scalaire

5 Isométries Vectorielles du Plan et de l'Espace

Sous-sections

5.1 Symétries orthogonales
- 5.1.1 Symétries orthogonales du plan
- 5.1.2 Symétries orthogonales de l'espace
5.2 Isométries vectorielles du plan
- 5.2.1 Isométries directes, le déterminant vaut 1
- 5.2.2 Isométrie indirecte, le déterminant vaut -1
5.3 Isométries vectorielles de l'espace
- 5.3.1 Isométrie directe : le déterminant vaut 1, le troisième vecteur est le produit vectoriel des 2 premiers
- 5.3.2 Isométrie indirecte : le déterminant vaut -1, le troisième vecteur est l'opposé du produit vectoriel des 2 premiers
5.4 Rotations vectorielles de l'espace

5 Isométries Vectorielles du Plan et de l'Espace

Dans une base orthonormale, la matrice d'une isométrie, application qui conserve la norme des vecteurs, est orthogonale, ce qui est une proprié té caractéristique.
Une matrice orthogonale est donc la matrice d'une isométrie dans une base orthonormale.
C'est cette isométrie dont on cherche à identifier les éléments géométriques.

5.1 Cas particulier des symétries orthogonales

Théorème : Une isométrie vectorielle est une symétrie orthogonale $\Leftrightarrow$ Sa matrice dans une base orthonormale est symétrique.

Preuve. Soit $\varphi$ l'isométrie et sa matrice, orthogonale, dans une base orthonormale.
Si $\varphi$ est une symétrie orthogonale, $\varphi\circ\varphi=Id$ , donc $M^{2}=I$ d'où $M=M^{-1}= ^{t}\!M$ . est donc symétrique.
Réciproquement, si est symétrique, $M= ^{t}\!M=M^{-1}$ donc $M^{2}=I$ et $\varphi\circ\varphi=Id$ , on a bien montré que $\varphi$ est une symétrie orthogonale. $\qedsymbol$

Cette isométrie est donc la symétrie orthogonale par rapport à l'ensemble des vecteurs invariants.
L'interprétation géométrique de cette isométrie ne dépend donc que de la dimension de cet espace vectoriel.

5.1.1 Symétries orthogonales du plan

On trouve :

L'identité, qui est une isométrie directe. Tous les vecteurs sont invariants.
Une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle, isométrie indirecte. On a une droite vectorielle invariante.
Moins l'identité, isométrie directe. Seul le vecteur nul est invariant. C'est aussi la rotation d'angle $\pi$ .

5.1.2 Symétries orthogonales de l'espace

On trouve :

L'identité, qui est une isométrie directe. Tous les vecteurs sont invariants.
Une symétrie orthogonales par rapport à une droite vectorielle, isométrie directe. On a une droite vectorielle invariante.
C'est aussi une rotation d'angle $\pi$ autour de cette droite.
Une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel, isométrie indirecte.
On a un plan vectoriel invariant.
Moins l'identité, isométrie indirecte. Seul le vecteur nul est invariant.

Remarque : Une symétrie orthogonale par rapport à une droite est indirecte quand on travaille dans le plan et directe quand on travaille dans l'espace...

5.2 Isométries vectorielles du plan

Dans une base orthonormale, la matrice est orthogonale. On a déjà reconnu les éventuelles symétries orthogonales.

5.2.1 Isométries directes, le déterminant vaut 1

C'est une rotation d'angle $\theta$ , l'identité ou moins l'identité. La matrice est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$

5.2.2 Isométrie indirecte, le déterminant vaut -1

C'est une symétrie orthogonale par rapport à la droite $D_{\frac{\theta}{2}}$ tournée de $\dfrac{\theta}{2}$ par rapport à l'axe .
La matrice est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$

5.3 Isométries vectorielles de l'espace

On a déjà reconnu les éventuelles symétries orthogonales. Dans une base orthonormale, la matrice est orthogonale.
Il y a toujours une valeur propre réelle puisque le polynôme caractéristique est réel de degré 3. Cette valeur propre est 1 ou -1.
Si les autres valeurs propres ne sont pas réelles, elles sont conjuguées, de produit positif.
Comme le déterminant est le produit des valeurs propres, si le déterminant vaut 1, alors 1 est valeur propre, s'il vaut , alors est valeur propre.
On ne considérera pas le cas où l'isométrie est l'identité.

5.3.1 Isométrie directe : le déterminant vaut 1, le troisième vecteur est le produit vectoriel des 2 premiers

Dans une certaine base, la matrice est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta &... ...in\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
C'est l'identité ou une rotation d'axe dirigé par un vecteur propre associé à 1 : $\overrightarrow{e_{1}}$ , le premier vecteur de la base considérée, et d'angle $\theta$ . On trouve $\theta$ :

en cherchant $\cos\theta$ par la trace qui vaut $1+2\cos\theta$
en cherchant le signe de $\sin\theta$ qui est celui de $\det\left( \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{u}, \varphi (\overrightarrow{u})\right)$ , $\overrightarrow{u}$ étant un vecteur quelconque non colinéaire à $\overrightarrow{e_{1}}$ .
le seul cas particulier est quand $\cos\theta=-1$ , c'est à dire quand $\theta=\pi_{\left[ 2\pi\right] }$ , auquel cas c'est une rotation d'angle $\pi$ , appelée aussi demi-tour, c'est aussi la symétrie orthogonale par rapport à l'axe dirgé par $\overrightarrow{e_{1}}$ .

5.3.2 Isométrie indirecte : le déterminant vaut -1, le troisième vecteur est l'opposé du produit vectoriel des 2 premiers

Dans une certaine base, la matrice est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta ... ...in\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
C'est la composée commutative

d'une rotation vectorielle et,
d'une symétie orthogonale par rapport au plan orthogonal à l'axe de la rotation.

On cherche d'abord l'axe de la rotation, qui est le sous-espace propre pour la valeur propre , qu'on oriente dans le sens de $\overrightarrow{e_{-1}}$ .
On cherche ensuite $\cos\theta$ par la trace qui vaut ici $-1+2\cos\theta$ .

Si $\cos\theta=1$ , ce qui revient à ce que $\theta=0_{\left[ 2\pi\right] }$ , la rotation est l'identité.
C'est simlement la symétrie orthogonale par rapport au plan orthogonal à « l'axe ».
Sinon, c'est la composée annoncée. La seule donnée qui nous manque est le signe de $\sin\theta$ qui se trouve comme dans le cas d'une isométrie directe.
Le signe de $\sin\theta$ est celui de $\det\left( \overrightarrow {e_{-1}}, \overrightarrow{u}, \varphi(\overrightarrow{u})\right)$ , $\overrightarrow{u}$ étant un vecteur quelconque non colinéaire à $\overrightarrow{e_{-1}}$ .

Exemple : On va identifier la transformation dont la matrice dans une base othonormale est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} ... ...ac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} \end{array} \right) \end{displaymath}$ .

Il est facile de voir que cette matrice est orthogonale, il s'agit donc d'une isométrie vectorielle.
Comme, de plus, elle est symétrique, c'est une symétrie vectorielle.
Il suffit de rechercher les vecteurs invariants, ce qui revient à : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} -5x-2y+z=0\\ -2x-2y-2z=0\\ x-2y-5z=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
En soustrayant la première et la troisième ligne, on obtient et le système devient : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=z\\ 2x+y=0\\ 2x+y=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
Il s'agit d'une droite vectorielle $\overrightarrow{\Delta}$ engendrée par $\begin{displaymath}\overrightarrow{u}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ -2\\ 1 \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
L'isométrie est la symétrie orthogonale par rapport à $\overrightarrow{\Delta}$ , c'est aussi la rotation d'axe $\overrightarrow{\Delta}$ et d'angle $\pi$ .

Exemple : On va identifier la transformation dont la matrice dans une base othonormale est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{4} ... ...} & -\dfrac{\sqrt{6}}{4} & -\dfrac{1}{2} \end{array} \right) \end{displaymath}$ .

Il est facile de voir que cette matrice est orthogonale, il s'agit donc d'une isométrie vectorielle.
Ca n'est pas une symétrie orthogonale, car la matrice n'est pas symétrique.
Le troisième vecteur est l'opposé du produit vectoriel des deux premiers, c'est donc une isométie indirecte.
On est dans le cas de la composée commutative d'une rotation et d'une symétrie orthogonale.
L'axe de la rotation et le plan de symétrie qui lui est orthogonal sont donnés par les vecteurs transformés en leur opposé : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x-y-z\sqrt{6}=0\\ -x+y+z\sqrt{6}=0\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{6}+2z=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ qui équivaut au système : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x-y-z\sqrt{6}=0\\ 6x-6y+2z\sqrt{6}=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ ou encore : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=y\\ z=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$ .
L'axe est la droite vectorielle $\overrightarrow{\Delta}$ engendrée et dirigée par $\begin{displaymath}\overrightarrow{u}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
Le plan de symétrie est le plan $\overrightarrow{\Pi}$ d'équation.
L'angle de la rotation vérifie $-1+2\cos\theta=-2$ en utilisant la trace.
On a donc $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ . Le signe de $\sin\theta$ est le signe de $\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}[c]{ccc} 0 & -3 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & \sqrt{6} & 0 \end{array} \right\vert <0\end{displaymath}$ , et donc $\theta=-\dfrac{2\pi}{3}$ à $2 \pi$ près.
La transformation est la composée commutative de la rotation d'axe $\overrightarrow{\Delta}$ engendrée et dirigée par $\begin{displaymath}\overrightarrow{u}:\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ , d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ et de la symétrie orthogonale par rapport au plan $\overrightarrow{\Pi}$ d'équation .

5.4 Rotations vectorielles de l'espace

Théorème : Si $\varphi$ est la rotation d'angle $\theta$ , et d'axe dirgé par $\overrightarrow{e_{1}}$ alors :

$\displaystyle \varphi\left( \overrightarrow{u}\right) =\left( 1-\cos\theta\righ... ...1}}\wedge\overrightarrow{u} }{\left\Vert \overrightarrow{e_{1}}\right\Vert }$

Preuve. Il suffit de prendre une base orthonormale $\left( \overrightarrow {i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ , pour laquelle $\overrightarrow{i}$ est colinéaire à $\overrightarrow{e_{1}}$ , de même sens, la matrice de $\varphi$ est $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta &... ...in\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
L'image de $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{l} x\\ y\\ z \end{array} \right) \end{displaymath}$ est de coordonnées $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{l} x\\ y\cos\theta-z\sin\theta\\ y\sin\theta+z\cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$ .
La formule peut se réécrire : $\varphi\left( \overrightarrow {u}\right) =\left( 1-\cos\theta\right) \overrig... ...ta \overrightarrow{u} +\sin\theta \overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{u}$
On calcule les coordonnées de $\left( 1-\cos\theta\right) \overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{u} \overri... ...a \overrightarrow{u}+\sin\theta \overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow {u}:$

$\begin{displaymath} \left( \begin{array}[c]{c} \left( 1-\cos\theta\right) x\\... ...z\sin\theta\\ y\sin\theta+z\cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$

$\qedsymbol$

Preuve. On va donner ici une autre démonstration moins besogneuse.
Soit $\overrightarrow{i}$ normé et colinéaire à $\overrightarrow{e_{1}}$ , de même sens.
On décompose $\overrightarrow{u}:$

$\displaystyle \overrightarrow{u}=\left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{... ... \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow {i}\right) \overrightarrow{i}\right)$

Ce dernier vecteur $\overrightarrow{u}- \left( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow {i}\right) \overrightarrow{i}$ est orthogonal à $\overrightarrow{i}$ . Pour un tel vecteur $\overrightarrow{v}$ orthogonal à $\overrightarrow{i}$ : $\varphi\left( \overrightarrow{v}\right) =\cos\theta \overrightarrow{v} +\sin\theta \left( \overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{v}\right)$ Et donc :

$\displaystyle \varphi\left( \overrightarrow{u}\right) =\left( \overrightarrow{u... ...rightarrow{u}\cdot\overrightarrow{i}\right) \overrightarrow{i}\right) \right)$

Enfin, comme $\overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{i}=\overrightarrow{0}:$

$\displaystyle \varphi\left( \overrightarrow{u}\right) =\left( 1-\cos\theta\righ... ...htarrow{u}+\sin\theta\left( \overrightarrow{i}\wedge\overrightarrow{u}\right)$

$\qedsymbol$