Chapitre 6 : Fonctions de plusieurs variables, Continuité

Il s'agit de généraliser la notion de suite réelle. On ne parlera pas de suites croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée...
Mais, on parlera de suite convergente, bornée, de sous suite...

2.1 Suite de points de $\mathbb{R}^{p}$

Définition : Une suite de points de $\mathbb{R}^{p}$ est une application $\begin{displaymath}u:\left\{ \begin{array}[c]{ccc} \mathbb{N} & \rightarrow & ... ...}^{p}\\ n & \mapsto & u\left( n\right) \end{array} \right. \end{displaymath}$
La suite

sera notée $\left( u\left( n\right) \right) _{n\in\mathbb{N}}$ ou $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ ou encore $\left( u_{n}\right)$ .

Définition : La suite $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est bornée $\Leftrightarrow\left\{ u_{n},\,n\in\mathbb{N}\right\}$ est une partie bornée de $\mathbb{R}^{p}$ .

Cela équivaut à ce que la suite réelle $\left( \left\Vert u_{n}\right\Vert \right)$ est bornée.

Théorème : L'ensemble des suites à valeur dans $\mathbb{R}^{p}$ , muni de la somme des suites et de la multiplication par un scalaire (réel) est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ .

Preuve. Il s'agit de la structure habituelle de $\mathcal{A}\left( \mathbb{N} ,\mathbb{R}^{p}\right)$ $\qedsymbol$

2.2 Convergence

Dans ce qui suit, on définira ou on utilisera, selon les cas, la notion de norme ou la notion de distance.
Mais il faut bien se rendre compte que toute convergence qu'on exprime en utilisant des normes peut s'exprimer en termes de distances et vice-versa.

Définition : $\left( u_{n}\right)$ est convergente $\Leftrightarrow\exists l\in\mathbb{R}^{p},\,\forall\varepsilon>0,\quad\exists... ...d\forall n\geqslant N,\quad\left\Vert u_{n}-l\right\Vert \leqslant \varepsilon$ .

Définition : $\left( u_{n}\right)$ est divergente $\Leftrightarrow\left( u_{n}\right)$ n'est pas convergente

On dit que $\left( u_{n}\right)$ converge vers

, que $\left( u_{n}\right) \rightarrow l$ quand $n\rightarrow+\infty$ , ou encore que $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left( u_{n}\right) =l$ .

Théorème : $\left( u_{n}\right)$ converge $\Rightarrow$ la limite

est unique.

Preuve. $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left( u_{n}\right) =l$ , $\forall\varepsilon>0,\quad\exists N\in\mathbb{N},\quad\forall n\geqslant N,\quad\left\Vert u_{n}-l\right\Vert \leqslant\varepsilon$
On a aussi : $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left( u_{n}\right) =l^{\prime}$ , $\forall\varepsilon>0,\quad\exists N^{\prime}\in\mathbb{N},\quad\forall n\geqs... ...N^{\prime},\quad\left\Vert u_{n}-l^{\prime}\right\Vert \leqslant \varepsilon$ par inégalité triangulaire, pour $n\geqslant\max\left( N,N^{\prime }\right)$ , $\left\Vert l-l^{\prime}\right\Vert \leqslant2\varepsilon$
Ceci étant vrai pour tout $\varepsilon$ , on en conclut $\left\Vert l-l^{\prime}\right\Vert =0$ , et enfin $l=l^{\prime}$ . $\qedsymbol$

Théorème : $\left( u_{n}\right)$ converge vers $0\Leftrightarrow\left( \left\Vert u_{n}\right\Vert \right)$ converge vers 0.

Preuve. $\left\Vert u_{n}-0\right\Vert =\left\Vert u_{n}\right\Vert$ (!...) $\qedsymbol$

Corollaire : $\left( u_{n}\right)$ converge vers $l\Leftrightarrow\left( \left\Vert u_{n}-l\right\Vert \right)$ converge vers 0.

Théorème : $u_{n}=\left( u_{1,n},\,u_{2,n},\ldots,\,u_{p,n}\right)$ , la suite $\left( u_{n}\right)$ est formée de

suites « coordonnées ».
$\left( u_{n}\right)$ converge
$\Leftrightarrow$ les

suites coordonnées convergent et $l=\left( l_{1},\,l_{2},\ldots,\,l_{p}\right)$ . $\left( u_{n}\right)$ diverge
$\Leftrightarrow$ il existe une suite coordonnée qui diverge.

Preuve. $\left( u_{n}\right)$ converge vers $l\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\quad\exists N\in\mathbb{N},\quad\forall n\geqslant N,\quad\left\Vert u_{n}-l\right\Vert \leqslant\varepsilon$ mais $\left\vert u_{i,n}-l_{i}\right\vert \leqslant\left\Vert u_{n}-l\right\Vert$ , ce qui prouve que : $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left( u_{i,n}\right) =l_{i}$
Réciproquement,

$\displaystyle \forall\varepsilon$	$\displaystyle >0,\quad\exists N_{1}\in\mathbb{N},\quad\forall n\geqslant N_{1},\quad\left\vert u_{1,n}-l_{1}\right\vert \leqslant\varepsilon,$
$\displaystyle \forall\varepsilon$	$\displaystyle >0,\quad\exists N_{2}\in\mathbb{N},\quad\forall n\geqslant N_{2},\quad\left\vert u_{2,n}-l_{2}\right\vert \leqslant\varepsilon,$
	$\displaystyle \vdots\vdots\vdots$
$\displaystyle \forall\varepsilon$	$\displaystyle >0,\quad\exists N_{p}\in\mathbb{N},\quad\forall n\geqslant N_{p},\quad\left\vert u_{p,n}-l_{p}\right\vert \leqslant\varepsilon,$

On pose $N=\max\limits_{i\in\left\{ 1,2,\ldots,p\right\} }N_{i}$ , et pour $n\geqslant N$ , $\left\Vert u_{n}-l\right\Vert \leqslant\sqrt{p\varepsilon^{2}}=\sqrt{p}\varepsilon$ ce qui prouve que $\left( u_{n}\right)$ converge vers

. $\qedsymbol$

Preuve. Soit $\varepsilon=1,\, \exists N\in\mathbb{N},\, \forall n\geqslant N,\, \left\Vert u_{n}-l\right\Vert \leqslant1$ , d'où

$\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\quad u_{n}\in B_{F}\left( l,\max\left( \l... ..._{1}-l\right\Vert ,\ldots,\left\Vert u_{N-1} -l\right\Vert ,1\right) \right)$

2.3 Sous suite

Définition : $\left( u_{n}\right)$ une suite de $\mathbb{R}^{p},\varphi :\mathbb{N\rightarrow N}$ strictement croissante. Alors la suite $\left( v_{n}\right)$ définie par $v_{n}=u_{\varphi\left( n\right) }$ est appelée suite extraite ou sous suite de la suite $\left( u_{n}\right)$ .
C'est bien sûr une suite de $\mathbb{R}^{p}$ .

Théorème : Si $\left( u_{n}\right)$ converge vers

, toute sous suite $\left( u_{\varphi\left( n\right) }\right)$ converge vers

Preuve. Pour un $\varepsilon$ donné, le même

convient pour la sous suite car $\varphi\left( n\right) \geqslant n$ . $\qedsymbol$

2.4 Opérations sur les limites

Théorème : $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left( u_{n}\right) =l$ et $\lim \limits_{n\rightarrow+\infty}\left( v_{n}\right) =l^{\prime}\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left( u_{n}+v_{n}\right) =l+l^{\prime}$ .