Il s'agit de généraliser la notion de suite réelle. On ne parlera pas de suites croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée...
Mais, on parlera de suite convergente, bornée, de sous suite...
Définition : Une suite de points de est une application
La suite sera notée ou ou encore.
Définition : La suite est bornée est une partie bornée de .
Cela équivaut à ce que la suite réelle est bornée.
Théorème : L'ensemble des suites à valeur dans , muni de la somme des suites et de la multiplication par un scalaire (réel) est un espace vectoriel sur .
Preuve. Il s'agit de la structure habituelle de
Dans ce qui suit, on définira ou on utilisera, selon les cas, la notion de norme ou la notion de distance.
Mais il faut bien se rendre compte que toute convergence qu'on exprime en utilisant des normes peut s'exprimer en termes de distances et vice-versa.
Définition : est convergente .
Définition : est divergente n'est pas convergente
On dit que converge vers , que quand , ou encore que.
Théorème : converge la limite est unique.
Preuve.,
On a aussi : , par inégalité triangulaire, pour ,
Ceci étant vrai pour tout , on en conclut , et enfin .
Théorème : converge vers converge vers 0.
Preuve. (!...)
Corollaire : converge vers converge vers 0.
Théorème : , la suite est formée de suites « coordonnées ».
converge
les suites coordonnées convergent et . diverge
il existe une suite coordonnée qui diverge.
Preuve. converge vers mais, ce qui prouve que :
Réciproquement,
| ||
| ||
|
| |
|
On pose , et pour, ce qui prouve que converge vers .
Théorème : Toute suite convergente est bornée.
Preuve. Soit , d'où
Définition : une suite de strictement croissante. Alors la suite définie par est appelée suite extraite ou sous suite de la suite.
C'est bien sûr une suite de .
Théorème : Si converge vers , toute sous suite converge vers .
Preuve. Pour un donné, le même convient pour la sous suite car .
Remarque : En pratique, pour montrer qu'une suite diverge, il suffit :
Théorème : et .
Théorème : .