Chapitre 6 : Fonctions de plusieurs variables, Continuité

3 Applications de $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}^{p}$ dans $ \mathbb{R}$

Sous-sections

3 Applications de $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}^{p}$ dans $ \mathbb{R}$

3.1 Algèbre des applications définies sur $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}^{p}$ à valeur dans $ \mathbb{R}$

Théorème :   L'ensemble des applications $ A\rightarrow\mathbb{R}$, avec $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}^{p}$, muni de\begin{displaymath} % latex2html id marker 3073 \left\{ \begin{array}[c]{l} \t... ...duit de 2 applications, not\'{e} }\times \end{array} \right. \end{displaymath} a une structure d'algèbre commutative sur $ \mathbb{R}$.

Preuve. On en profite pour rappeler avec les notations du théorème la définition d'une algèbre, car toutes les démonstrations sont élémentaires..$ \left( \mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}\right) ,+,\cdot\right) $ est un espace vectoriel usuel.$ \left( \mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}\right) ,+,\times\right) $ est un anneau commutatif, car

$ \qedsymbol$

Définition :   $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}\right) $, on dit que $ f$ est bornée sur $ A\Leftrightarrow\exists M\in\mathbb{R},\forall u\in A,\left\vert f\left( u\right) \right\vert \leqslant M$

3.2 Limite et continuité en un point

Soit $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}\right) ,A\subset\mathbb{R}^{p}$, non vide. Soit $ u_{0}\in\mathbb{R}^{p}$ tel que

$\displaystyle \forall r>0,\quad\exists u\in A,\quad u\neq u_{0},\quad d\left( u,u_{0}\right) \leqslant r $

On ne s'intéressera à la limite de $ f$ qu'en de tels points. Intuitivement, on peut dire que ces points de $ A$ ne sont pas des points « isolés ».
Si, de plus, $ u_{0}\in A$, on pourra s'intéresser à la continuité en un tel point.

Définition :   Dans les conditions précédentes, on dit que

\begin{displaymath} \lim\limits_{u\rightarrow u_{0}}f\left( u\right) =l\Leftrig... ...ht) -l\right\vert \leqslant\varepsilon \end{array} \right. \end{displaymath}

Définition :   Dans ces mêmes conditions, on dit que $ f$ est continue en $ u_{0} \Leftrightarrow\lim\limits_{u\rightarrow u_{0}}f\left( u\right) =f\left( u_{0}\right) $.

3.3 Algèbre des applications continues sur $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}^{p}$, Ó valeur dans $ \mathbb{R}$

Définition :   On dit que $ f$ est continue sur $ A\Leftrightarrow f$ est continue en tout vecteur $ u_{0}$ de $ A$.

L'ensemble des applications continues de $ A\subset\mathbb{R}^{p}$, non vide, dans $ \mathbb{R}$, se note $ \mathcal{C}^{0}\left( A,\mathbb{R}\right) $.

Théorème :   $ \mathcal{C}^{0}\left( A,\mathbb{R}\right) $ a une structure d'algèbre commutative, sous algèbre de $ \mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}\right) $.

Preuve. On en profite pour rappeler avec les notations du théorème, les conditions pour avoir une sous algèbre.
La fonction constante 1 est bien continue sur $ A$ et appartient à$ \mathcal{C}^{0}\left( A,\mathbb{R}\right) $.
Ensuite, si $ f$ et $ g$ sont continues sur $ A$, et $ \lambda\in\mathbb{R}$, alors $ f+g$, $ \lambda.f$, et $ f\times g$ sont continues sur $ A$, car la propriété est vraie en chaque vecteur $ u_{0}$ de $ A$.
La démonstration est la même que pour les fonctions de variable réelle en remplaçant certaines valeurs absolues par des normes. $ \qedsymbol$

Théorème :   Si $ f,g\in\mathcal{C}^{0}\left( A,\mathbb{R}\right) $, alors $ \dfrac{f}{g}$ est continue en tout vecteur $ u_{0}$ de $ A$ tel que $ g\left( u_{0}\right) \neq0$.

Théorème :   Les applications « composantes » : $ f_{i}:\left( u_{1},\,u_{2},\ldots ,\,u_{p}\right) \rightarrow u_{i}$ sont continues sur $ \mathbb{R}^{p}$.

3.4 Critère séquentiel

On utilise toujours les notations des paragraphes précédents. Le critère séquentiel est un critère reliant la limite d'une fonction en un point et des limites de suites.

Théorème : (critère séquentiel)  

\begin{displaymath} \lim\limits_{u\rightarrow u_{0}}f\left( u\right) =l\Leftrig... ...htarrow+\infty}f\left( v_{n}\right) =l. \end{array} \right. \end{displaymath}

Preuve.  

$ \qedsymbol$

Remarque :   Ce théorème sert souvent à montrer que $ f$ n'a pas de limite en$ u_{0}$, en cherchant astucieusement de « bonnes » suites $ \left( v_{n}\right) $.

Corollaire :   $ f$ continue en \begin{displaymath}u_{0}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} \text{pour ... ...t( v_{n}\right) =f\left( u_{0}\right) . \end{array} \right. \end{displaymath}

Exemple :   On cherche la limite en $ \left( 0,0\right) $ de $ f:\left( x,y\right) \mapsto\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}$
Cette fonction est définie et continue sur $ \mathbb{R}^{2}\backprime \left\{ \left( 0,0\right) \right\} $ par application des théorèmes élémentaires.$ f\left( 0,y\right) =0$ et $ f\left( x,x\right) =\dfrac{1}{2}$ prouve que$ f$ n'a pas de limite en $ \left( 0,0\right) .$

Exemple :   On cherche la limite en $ \left( 0,0\right) $ de $ f:\left( x,y\right) \mapsto\dfrac{x^{2}-y}{x^{2}+y}$
Cette fonction est définie et continue sur $ \mathbb{R}^{2}\backprime \left\{ \left( x,-x^{2}\right) ,x\in\mathbb{R}\right\} $ par application des théorèmes élémentaires.
On calcule $ f\left( \dfrac{1}{n},-\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}\right) =\dfrac{\dfrac{2}{n^{2}}-\dfrac{1}{n^{3}}}{\dfrac{1}{n^{3}}}=2n-1$ qui n'a pas de limite à l'infini, ce qui prouve que $ f$ n'a pas de limite en $ \left( 0,0\right) .$

3.5 Image d'une partie fermée bornée de $ A$ par $ f\in \mathcal{C}^{0}\left( A,\mathbb{R}\right) $

Théorème :   $ f\in \mathcal{C}^{0}\left( A,\mathbb{R}\right) $, $ B\subset A$, $ B$ une partie fermée et bornée, alors $ f\left( B\right) $ est une partie bornée de $ \mathbb{R}$ et les bornes sont atteintes.

La démonstration est admise.

© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing