Chapitre 6 : Fonctions de plusieurs variables, Continuité

4 Applications de $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}^{q}$, Continuité

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4 Applications de $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}^{q}$, Continuité

Il s'agit ici de fonctions de variable réelle à valeur vectorielle. On considère $ \mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $ avec$ A\subset\mathbb{R}$, $ A$ non vide, l'ensemble des applications de $ A$ dans$ \mathbb{R}^{q}$.

4.1 Espace vectoriel $ \mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $

Théorème :   L'ensemble des applications de $ A\subset\mathbb{R}$, $ A$ non vide, dans$ \mathbb{R}^{q}$, muni de la somme des applications et du produit par un scalaire (réel) a une structure d'espace vectoriel réel.

Preuve.$ A$ est non vide et $ \mathbb{R}^{q}$ est un espace vectoriel réel ! $ \qedsymbol$

Définition :   $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $, on dit que $ f$ est bornée sur $ A\Leftrightarrow\exists M\in\mathbb{R},\quad\forall x\in A,\quad\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \leqslant M$

4.2 Limite en un point, continuité

Définition :   $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $, on dit que

\begin{displaymath} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =l\Leftrig... ...ht) -l\right\Vert \leqslant\varepsilon \end{array} \right. \end{displaymath}

Définition :   Si, de plus, $ x_{0}\in A$, $ f$ est continue en $ x_{0}\Leftrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =f\left( x_{0}\right) $.

4.3 Applications « composantes »

Pour $ x\in A$, on a $ f(x)\in\mathbb{R}^q$ et on peut donc écrire :$ f(x)=\left( f_1(x),\,f_2(x),\ldots,\,f_q(x)\right)$ avec $ f_i(x))\in\mathbb{R}$.
Définir $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $, revient ainsi à définir $ q$ applications $ f_{1},\,f_{2},\ldots,\,f_{q}$ de $ A$ dans$ \mathbb{R}$, les applications composantes.

Théorème :   $ l=\left( l_{1},l_{2},\ldots,l_{q}\right) $

\begin{displaymath} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =l\Leftrig... ...arrow x_{0}}f_{q}\left( x\right) =l_{q} \end{array} \right. \end{displaymath}

Corollaire :   $ f$ est continue en $ x_{0}\in A\Leftrightarrow f_{1},f_{2},\ldots,f_{q}$ sont continue en $ x_{0}$.

On retiendra l'idée que tout se passe composante par composante.

Preuve.$ \left( \Rightarrow\right) $ Comme $ \left\vert f_{i}\left( x\right) -l_{i}\right\vert \leqslant\left\Vert f\left( x\right) -l\right\Vert $,$ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f_{i}\left( x\right) =l_{i}$.$ \left( \Leftarrow\right) $ On écrit chaque limite :

$\displaystyle \forall\varepsilon$

$\displaystyle >0,\quad\exists\eta_{1}>0,\quad\forall x\in A,\quad x\neq x_{0},... ...ghtarrow\left\vert f_{1}\left( x\right) -l_{1}\right\vert \leqslant\varepsilon$

   

$\displaystyle \forall\varepsilon$

$\displaystyle >0,\quad\exists\eta_{2}>0,\quad\forall x\in A,\quad x\neq x_{0},... ...ghtarrow\left\vert f_{2}\left( x\right) -l_{2}\right\vert \leqslant\varepsilon$

   

 

$\displaystyle \vdots\vdots\vdots$

   

$\displaystyle \forall\varepsilon$

$\displaystyle >0,\quad\exists\eta_{q}>0,\quad\forall x\in A,\quad x\neq x_{0},... ...ghtarrow\left\vert f_{q}\left( x\right) -l_{q}\right\vert \leqslant\varepsilon$

   


On prend $ \eta=\inf\left( \eta_{1},\eta_{2},\ldots,\eta_{q}\right) $, alors,

$\displaystyle \forall x\in A,\quad x\neq x_{0},\quad\left\vert x-x_{0}\right\ve... ...arrow\left\Vert f\left( x\right) -l\right\Vert \leqslant\sqrt {q}\varepsilon $

Ce qui termine la démonstration. $ \qedsymbol$

4.4 Opérations sur les limites

Théorème :   Soit $ f,g\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $, $ \lambda\in\mathbb{R}$, $ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =l$,$ \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}g\left( x\right) =l^{\prime}$, alors

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\left( f+g\right) \left( x\right)$

$\displaystyle =l+l^{\prime}$

   

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\left( \lambda.f\right) \left( x\right)$

$\displaystyle =\lambda\, l$

   


Preuve. Tout est élémentaire composante par composante. $ \qedsymbol$

Corollaire :   $ \mathcal{C}^{0}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $, avec $ A$ non vide, est un espace vectoriel, sous espace vectoriel de $ \mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $.


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing