Chapitre 6 : Fonctions de plusieurs variables, Continuité

5 Applications de $ A$ dans $ \mathbb{R}^{q}$, $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}^{p}$, Continuité

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5 Applications de $ A$ dans $ \mathbb{R}^{q}$, $ A$ non vide, $ A\subset\mathbb{R}^{p}$, Continuité

Pour la limite et la continuité, on se place en un vecteur $ u_{0}$ qui n'est pas « isolé » dans $ A$, c'est à dire qui vérifie les conditions imposées pour les fonctions de plusieurs variables et à valeur réelle.
On rappelle que cela signifie : $ u_{0}\in\mathbb{R}^{p}$ tel que :$ \forall r>0,\:\exists u\in A,\: u\neq u_{0},\: d\left( u,u_{0}\right) \leqslant r $.

5.1 Limite, continuité en un vecteur $ u_{0}$

Définition :   $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) $, on dit que

$\displaystyle \lim\limits_{u\rightarrow u_{0}}f\left( u\right) =l\Leftrightarro... ...htarrow\left\Vert f\left( u\right) -l\right\Vert \leqslant\varepsilon\right] $

Définition :   Si, de plus, $ u_{0}\in A$, $ f$ est continue en $ u_{0} \Leftrightarrow\lim\limits_{u\rightarrow u_{0}}f\left( u\right) =f\left( u_{0}\right) $.

En fait, on se retrouve avec $ q$ applications « composantes » de $ p$ variables réelles.

Théorème :   $ l=\left( l_{1},l_{2},\ldots,l_{q}\right) $ et $ f\left( u\right) =\left( f_{1}\left( u\right) ,f_{2}\left( u\right) ,\ldots,f_{q}\left( u\right) \right) $

\begin{displaymath} \lim\limits_{u\rightarrow u_{0}}f\left( u\right) =l\Leftrig... ...arrow u_{0}}f_{q}\left( u\right) =l_{q} \end{array} \right. \end{displaymath}

Corollaire :   $ f$ est continue en $ u_{0}\in A\Leftrightarrow f_{1},f_{2},\ldots,f_{q}$ sont continue en $ u_{0}$.

On retiendra encore l'idée que tout se passe composante par composante.

Preuve. La démonstration est la même que la démonstration pré cédente en remplaçant, où il le faut, des valeurs absolues par des normes (ou des distances). $ \qedsymbol$

5.2 Image d'une suite convergente de vecteurs de $ A$, de limite$ u_{0}$, par $ f$ continue en $ u_{0}$

Théorème :   Soit $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{q}\right) ,A\subset\mathbb{R}^{p} $, $ A$ non vide. Soit $ u_{0}\in A$, $ f$ continue en $ u_{0}$.
Soit $ \left( v_{m}\right) _{m\in\mathbb{N}}$ une suite de vecteurs de $ A$ telle que $ \lim\limits_{m\rightarrow+\infty}v_{m}=u_{0}$.
Alors $ \lim\limits_{m\rightarrow+\infty}f\left( v_{m}\right) =f\left( u_{0}\right) $.

Preuve. Il suffit d'appliquer le critère séquentiel à chaque fonction composante $ f_{i}$. $ \qedsymbol$

5.3 Composée d'applications continues

Théorème :   Soit $ f\in\mathcal{A}\left( A,\mathbb{R}^{p}\right) ,\quad A\subset \mathbb{R}^{m},\quad A$ non vide. Soit $ u_{0}\in A$, $ f$ continue en $ u_{0}$.
Soit $ g\in\mathcal{A}\left( B,\mathbb{R}^{q}\right) ,\quad B\subset \mathbb{R}^{p},\quad f\left( A\right) \subset B,\quad g$ continue en $ f\left( u_{0}\right) $.
On a ainsi :    $ \mathbb{R}^{m} \overset{f}{ \rightarrow} \mathbb{R}^{p} \overset{g}{ \rightarrow} \mathbb{R}^{q}$
Ce qui donne :

\begin{displaymath} \left. \begin{array}[c]{r} f\text{ continue en }u_{0}\\ ... ... \right\} \Rightarrow g\circ f\text{ est continue en }u_{0}. \end{displaymath}

Preuve. On écrit les deux relations de continuité.

$\displaystyle \forall\varepsilon$

$\displaystyle >0,\quad\exists r>0,\quad\forall u\in A,\quad\left\Vert u-u_{0}\... ...t\Vert f\left( u\right) -f\left( u_{0}\right) \right\Vert \leqslant\varepsilon$

   

$\displaystyle \forall\varepsilon^{\prime}$

$\displaystyle >0,\quad\exists r^{\prime}>0,\quad\forall v\in B,\quad\left\Vert... ...left( v\right) -g\left( v_{0}\right) \right\Vert \leqslant\varepsilon^{\prime}$

   


On prend $ \varepsilon^{\prime}>0$, d'où $ r^{\prime}>0$, on prend$ \varepsilon=r^{\prime}$, d'où $ r>0$, et pour $ u\in A$,

$\displaystyle \left\Vert u-u_{0}\right\Vert \leqslant r\Rightarrow\left\Vert f\... ...left( f\left( u_{0}\right) \right) \right\Vert \leqslant\varepsilon^{\prime} $

et enfin

$\displaystyle \forall\varepsilon^{\prime}>0,\quad\exists r>0,\quad\forall u\in... ...eft( f\left( u_{0}\right) \right) \right\Vert \leqslant\varepsilon^{\prime}. $

$ \qedsymbol$

On a maintenant les outils pour montrer facilement la continuité de la plupart des fonctions usuelles.

© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing