Chapitre 7 : Intégrale Simple, ou de Riemann

4 Recherche de primitives

Sous-sections

4 Recherche de primitives

Remarque :   Les méthodes générales ne sont pas toujurs les meilleures...
Regardons par exemple $ \displaystyle\int\dfrac{8t^{7}}{t^{8}+1}\,dt$!... Si la technique de terminale fonctionne, il faut l'utiliser...

4.1 Fraction rationnelle en $ x$ (ou en $ t$...)

4.2 Fractions rationnelles diverses

Le but du changement de variable donné est à chaque fois d'obtenir une fraction rationnelle classique.

  1. Fraction rationnelle en $ e^{x}$, ch$ x$, sh$ x$ Poser $ u=e^{x}$
  2. Fraction rationnelle en $ x$ et $ \sqrt{ax+b}$ Poser $ u=\sqrt{ax+b}$
  3. Fraction rationnelle en $ \sin x$ et $ \cos x$

4.3 Polynôme $ \times $ exponentielle

Intégrer par parties ou chercher une primitive de la même forme avec un polynôme du même degré.

4.4 Primitives usuelles

On consultera le tableau suivant. Notons qu'une primitive n'a de sens que sur un intervalle.

Primitives simples

Fonction

Primitive

Remarques

$ x^{a}$

$ \dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C$

Sauf pour $ a=-1$, sur$ \mathbb{R}$, ou $ \mathbb{R}^{\ast}$, ou $ \mathbb{R}_{+}^{\ast}$ selon le cas

$ \dfrac{1}{x}$

$ \ln\left\vert x\right\vert +C$

Sur un intervalle de$ \mathbb{R}^{\ast}$

$ \dfrac{1}{x+a}$

$ \ln\left\vert x+a\right\vert +C$

Sur un intervalle privé de $ -a$

$ \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}$

$ \dfrac{1}{a}$ arctan$ \dfrac{x}{a}+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$ \arcsin x+C$

Sur un intervalle de $ \left] -1,1\right[ $. Ou bien $ -\arccos x+C'$

$ e^{x}$

$ e^{x}+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \cos x$

$ \sin x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \sin x$

$ -\cos x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \dfrac{1}{\cos^{2}x}$

$ \tan x+C$

Sur un intervalle de $ \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ +k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$

$ \tan x$

$ -\ln\left\vert \cos x\right\vert +C$

Sur un intervalle de $ \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ +k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$

$ \mathrm{ch} x$

$ \mathrm{sh} x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \mathrm{sh} x$

$ \mathrm{ch} x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

Utilisation de fonctions composées

Fonction

Primitive

Remarques

$ u' u^n$

$ \frac{1}{n+1} u^{n+1}$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$, $ n\neq-1$

$ \dfrac{u'}{u}$

$ \ln \vert u\vert$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$, $ u(x)\neq 0$

$ \dfrac{u'}{u^n}$

$ \frac{1}{1-n} \dfrac{1}{u^{n-1}}$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$, $ u(x)\neq 0$, $ n\neq1$

$ \dfrac{u'}{a^2+u^2}$

$ \dfrac{1}{a}\mathrm{arctan} \dfrac{u}{a}$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing