Chapitre 8 : Intégrale généralisée

1 Nature d'une intégrale impropre

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1 Nature d'une intégrale impropre

1.1 Locale intégrabilité

Définition :   On dit que $ f$ est localement intégrable sur $ I\Leftrightarrow$ $ \forall\alpha,\beta$, tel que $ \left[ \alpha,\beta\right] \subset I$, $ f$ est intégrable sur $ \left[ \alpha,\beta\right] $.

En pratique, $ f$ est le plus souvent continue sur $ I$ ce qui implique le fait qu'elle est localement intégrable sur $ I$.
Ceci sera le début invariable de l'étude d'une intégrale généralisée.

1.2 Intégrale convergente

Définition :   Soit $ f$ localement intégrable sur $ \left[ a,b\right[ $. On dit l'intégrale de $ f$ sur $ \left[ a,b\right[ $ converge ou existe $ \Leftrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow b^{-}}\displaystyle\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt$ existe (au sens de limite finie).
On note cette limite $ \displaystyle\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt$, ce qui est nouvelle notation.

Remarque :   Notons que cette nouvelle notation est parfaitement compatible avec l'ancienne, il suffit de regarder ce qui se passe quand $ f$ est continue sur $ \left[a , b\right] $.

Définition :   Soit $ f$ localement intégrable sur $ \left[ a,+\infty\right[ $. On dit l'intégrale de $ f$ sur $ \left[ a,+\infty\right[ $ converge ou existe $ \Leftrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\displaystyle\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt$ existe (au sens de limite finie).
On note cette limite $ \displaystyle\int_{a}^{+\infty}f\left( t\right) dt$, ce qui est nouvelle notation.

Définition :   Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu'elle diverge. La nature d'une intégrale généralisée est le fait qu'elle converge ou qu'elle diverge.

Remarque :   Quand on a une intégrale, il nous faut maintenant déterminer, au départ, s'il s'agit d'une intégrale simple ou d'une intégrale généralisée.

Remarque :   Dans le cas où les théorèmes qui suivent se révèlent inapplicables ou difficiles à appliquer, on peut toujours essayer de travailler en primitive, sans bornes aux intégrales, et calculer au bout du compte les limites de ces primitives...
Cela est même quelquefois indispensable, en particulier avec les intégrations par parties.
Après tout, on ne fait alors que revenir à la définition qu'on vient de donner.

1.3 Exemples fondamentaux

Théorème : (Riemann)   $ {\displaystyle\int_{0}^{1}} \dfrac{1}{t^{\alpha}}\,dt$ converge$ \Leftrightarrow \alpha<1$

Remarque :   On a la même chose en un point $ a$ : $ {\displaystyle\int_{a}^{b}} \dfrac{1}{\left\vert t-a\right\vert ^{\alpha}}\,dt$ converge$ \Leftrightarrow \alpha<1$

Théorème : (Riemann)   $ {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}} \dfrac{1}{t^{\alpha}}\,dt$ converge$ \Leftrightarrow \alpha>1$

Théorème :   $ \displaystyle\int_{0}^{1}\ln\left( t\right) dt$ converge.

Théorème :   $ \displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}dt$ converge $ \Leftrightarrow\alpha>0$.

Preuve. On cherche pour chacune de ces fonctions une primitive, ce qui est facile.
On cherche ensuite à quelle condition cette primitive a une limite finie à la borne considérée. $ \qedsymbol$

Remarque :   Enfin, on veillera donc à ne pas confondre :

Les deux notions sont indépendantes... comme le prouve le tableau suivant.

Intégrale

Singularité

Limite de la fonction

Convergence de l'intégrale

$ {\displaystyle\int_1^{+\infty}}\dfrac{1}{t^2}\,dt$

$ +\infty$

0

oui

$ {\displaystyle\int_1^{+\infty}}\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,dt$

$ +\infty$

0

non

$ {\displaystyle\int_0^{1}}\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,dt$

0

$ +\infty$

oui

$ {\displaystyle\int_0^{1}}\dfrac{1}{t^2}\,dt$

0

$ +\infty$

non

1.4 Relation de Chasles des intégrales convergentes

Théorème :   $ f$ localement intégrable sur $ \left[ a,b\right[ $ avec $ c\in\left] a,b\right[ $, alors $ \displaystyle\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt$ et $ \displaystyle\int_{c} ^{b}f\left( t\right) dt$ sont de même nature
et si elles convergent, on a : $ \displaystyle\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt=\displaystyle\int_{a}^{c}f\left( t\right) dt+\displaystyle\int _{c}^{b}f\left( t\right) dt$

Preuve. Il suffit d'écrire la relation de Chasles pour les intégrales simples entre $ a$ et $ x$ et de passer à la limite quand $ x\rightarrow b^{-}$ $ \qedsymbol$

On a bien sûr le même théorème sur tous les autres types d'intervalles.

1.5 Cas de problème aux deux bornes

Il se peut que l'intégrale soit généralisée aux 2 bornes.
Il faut traiter une borne à la fois.
On coupe l'intégrale en 2 arbitrairement en un point $ c$.
On dira que l'intégrale converge $ \Leftrightarrow$ chacune des 2 intégrales converge. Par exemple $ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f\left( t\right) dt$ converge $ \Leftrightarrow$ $ \displaystyle\int_{-\infty}^{0}f\left( t\right) dt$ et $ \displaystyle\int _{0}^{+\infty}f\left( t\right) dt$ convergent.

1.6 Linéarité des intégrales convergentes

Théorème :   $ f,g$ dont les intégrales convergent sur $ I$, $ \lambda,\mu\in\mathbb{K}$,
alors $ \lambda.f+\mu.g$ a une intégrale convergente sur $ I$ et : $ \displaystyle\int_{I}\left( \lambda.f+\mu.g\right) \left( t\right) dt=\lambda\... ...tyle\int _{I}f\left( t\right) dt+\mu\displaystyle\int_{I}g\left( t\right) dt $.

Preuve. C'est un simple passage à la limite sur les primitives $ \qedsymbol$

1.7 Limite finie en un point fini (faux problème)

Théorème :   $ f$ localement intégrable sur $ \left[ a,b\right[ $, borné, telle que $ f$ est prolongeable par continuité en $ b$, c'est à dire telle que $ f$ a une limite finie en $ b^{-}$, alors : $ \displaystyle\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt$ converge.

Preuve. $ f$ est prolongeable par continuité en $ b^{-}$, on note $ \widetilde{f}$ la prolongée sur $ \left[ a,b\right] $, pour $ x\in\left] a,b\right[ $, $ \displaystyle\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt=\displaystyle\int _{a}^{x}\widetilde{f}\left( t\right) dt$ qui tend vers l'intégrale simple $ \displaystyle\int_{a}^{b}\widetilde{f}\left( t\right) dt$ par continuité de la primitive. Ce qui prouve que $ \displaystyle\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt$ converge. $ \qedsymbol$

Exemple :   $ \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\sin t}{t}dt$ converge.


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing