Définition : localement intégrable sur , à valeur dans ,
on dit que l'intégrale de est absolument convergente l'intégrale de converge absolument.
Exemple : converge.
Théorème : localement intégrable sur , dont l'intégrale converge absolument sur ,
alors l'intégrale de converge sur et :
Preuve. On va le montrer pour une fonction qui est à priori à valeurs complexes.
Définition : On dit que l'intégrale de est semi convergente sur
Exemple : est semi convergente.
Remarque : Ceci n'est pas un théorème, il faut à chaque fois refaire la démonstration...
Il faut y observer qu'on travaille avec une fonction positive ou montrer la convergence absolue.
Exemple : On va déterminer la convergence de La fonction est continue, donc localement intégrable sur
On a un problème de convergence, ou une singularité, en 0 et en
En 0, tend vers 0, d'où et ainsi, par comparaison, converge absolument donc converge.
En tend vers 0, d'où et ainsi, par comparaison, converge absolument donc converge.
Ceci prouve que converge.
Théorème : Si est de signe constant sur , alors : et sont de même nature.
La convergence de l'intégrale équivaut à sa convergence absolue.
Preuve. ou est positive, l'une des deux est : .
La linéarité des intégrales convergentes permet de conclure.
Remarque : Quand on utilise ce théorème, on écrit clairement que dans le cas d'une fonction de signe constant, la convergence de son intégrale équivaut à sa convergence absolue.