Chapitre 8 : Intégrale généralisée

3.2 Condition suffisante d'intégrabilité

Théorème :

localement intégrable sur

, dont l'intégrale converge absolument sur

,
alors l'intégrale de

converge sur

et : $\left\vert \displaystyle\int_{I}f\left( t\right) dt\right\vert \leqslant\displaystyle\int_{I}\left\vert f\left( t\right) \right\vert dt$

Preuve. On va le montrer pour une fonction qui est à priori à valeurs complexes.

Comme $\left\vert \operatorname{Re}f\right\vert \leqslant\left\vert f\right\vert$ et $\left\vert \operatorname{Im}f\right\vert \leqslant\left\vert f\right\vert$ , par linéarité, il suffit de le montrer pour les fonctions à valeurs réelles.

Pour

à valeurs réelles, on note $f_{+}=\max\left( f,0\right)$ et $f_{-}=\max\left( -f,0\right)$ .
Ce sont deux fonctions positives, $0\leqslant f_{+}\leqslant\left\vert f\right\vert$ et $0\leqslant f_{-}\leqslant\left\vert f\right\vert$ , dont l'intégrale converge par majoration.
Et comme $f=f_{+}-f_{-}$ , on obtient par linéarité l'intégrale de

qui converge sur

$\qedsymbol$

3.4 Un procédé utile

Si on a $\alpha<1$ tel que $\lim\limits_{t\rightarrow0}t^{\alpha }f(t)=0$ , alors $\left\vert f(t)\right\vert =o\left( \dfrac{1}{t^{\alpha}}\right)$ , et $\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,dt$ converge absolument donc converge.

Si on a $\alpha>1$ tel que $\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}t^{\alpha }f(t)=0$ , alors $\left\vert f(t)\right\vert =o\left( \dfrac{1}{t^{\alpha}}\right)$ , et $\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(t)\,dt$ converge absolument donc converge.

Remarque : Ceci n'est pas un théorème, il faut à chaque fois refaire la démonstration...
Il faut y observer qu'on travaille avec une fonction positive ou montrer la convergence absolue.

Exemple : On va déterminer la convergence de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\,dt.$ La fonction $t\rightarrow\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}$ est continue, donc localement intégrable sur $\left] 0,+\infty\right[ .$
On a un problème de convergence, ou une singularité, en 0 et en $+\infty.$
En 0, $\sqrt{t}\left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert$ tend vers 0, d'où $\left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert =o\left( \dfrac{1}{\sqrt{t} }\right)$ et ainsi, par comparaison, $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\,dt$ converge absolument donc converge.
En $+\infty,$ $t^{3/2}\left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert$ tend vers 0, d'où $\left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert =o\left( \dfrac{1}{t^{3/2} }\right)$ et ainsi, par comparaison, $\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\,dt$ converge absolument donc converge.
Ceci prouve que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\,dt$ converge.

3.5 Cas des fonctions de signe constant

Théorème : Si

est de signe constant sur

, alors : $\displaystyle\int_a^bf(t)dt,\quad \displaystyle\int_a^b-f(t)dt$ et $\displaystyle\int_a^b \left\vert f(t)\right\vert dt$ sont de même nature.
La convergence de l'intégrale équivaut à sa convergence absolue.

Preuve.

est positive, l'une des deux est : $\left\vert f\right\vert$ .
La linéarité des intégrales convergentes permet de conclure. $\qedsymbol$

Remarque : Quand on utilise ce théorème, on écrit clairement que dans le cas d'une fonction de signe constant, la convergence de son intégrale équivaut à sa convergence absolue.

3 Intégrales absolument convergentes

3 Intégrales absolument convergentes

3.1 Intégrale absolument convergente

3.2 Condition suffisante d'intégrabilité

3.3 Semi convergence

3.4 Un procédé utile

3.5 Cas des fonctions de signe constant