Chapitre 8 : Intégrale généralisée

3 Intégrales absolument convergentes

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3 Intégrales absolument convergentes

3.1 Intégrale absolument convergente

Définition :   $ f$ localement intégrable sur $ I$, à valeur dans $ \mathbb{K}$,
on dit que l'intégrale de $ f$ est absolument convergente $ \Leftrightarrow$ l'intégrale de $ \left\vert f\right\vert $ converge absolument.

Exemple :   $ \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t^{2}}\,dt$ converge.

3.2 Condition suffisante d'intégrabilité

Théorème :   $ f$ localement intégrable sur $ I$, dont l'intégrale converge absolument sur $ I$,
alors l'intégrale de $ f$ converge sur $ I$ et : $ \left\vert \displaystyle\int_{I}f\left( t\right) dt\right\vert \leqslant\displaystyle\int_{I}\left\vert
f\left( t\right) \right\vert dt$

Preuve. On va le montrer pour une fonction qui est à priori à valeurs complexes.

$ \qedsymbol$

3.3 Semi convergence

Définition :   On dit que l'intégrale de $ f$ est semi convergente sur \begin{displaymath}I\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}[c]{l}
\text{l'int\'{e...
...\right\vert \text{ sur }I\text{ diverge}
\end{array}
\right. \end{displaymath}

Exemple :   $ \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,dt$ est semi convergente.

3.4 Un procédé utile

Remarque :   Ceci n'est pas un théorème, il faut à chaque fois refaire la démonstration...
Il faut y observer qu'on travaille avec une fonction positive ou montrer la convergence absolue.

Exemple :   On va déterminer la convergence de $ \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln
t}{1+t^{2}}\,dt.$ La fonction $ t\rightarrow\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}$ est continue, donc localement intégrable sur $ \left] 0,+\infty\right[ .$
On a un problème de convergence, ou une singularité, en 0 et en $ +\infty.$
En 0, $ \sqrt{t}\left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert $ tend vers 0, d'où $ \left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert =o\left( \dfrac{1}{\sqrt{t}
}\right) $ et ainsi, par comparaison, $ \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\,dt$ converge absolument donc converge.
En $ +\infty,$ $ t^{3/2}\left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert $ tend vers 0, d'où $ \left\vert \dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\right\vert =o\left( \dfrac{1}{t^{3/2}
}\right) $ et ainsi, par comparaison, $ \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\ln
t}{1+t^{2}}\,dt$ converge absolument donc converge.
Ceci prouve que $ \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\ln t}{1+t^{2}}\,dt$ converge.

3.5 Cas des fonctions de signe constant

Théorème :   Si $ f$ est de signe constant sur $ [a,b[$, alors :     $ \displaystyle\int_a^bf(t)dt,\quad \displaystyle\int_a^b-f(t)dt$   et $ \displaystyle\int_a^b \left\vert f(t)\right\vert dt
$      sont de même nature.
La convergence de l'intégrale équivaut à sa convergence absolue.

Preuve. $ f$ ou $ -f$ est positive, l'une des deux est : $ \left\vert f\right\vert $.
La linéarité des intégrales convergentes permet de conclure. $ \qedsymbol$

Remarque :   Quand on utilise ce théorème, on écrit clairement que dans le cas d'une fonction de signe constant, la convergence de son intégrale équivaut à sa convergence absolue.



© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing