Chapitre 8 : Intégrale généralisée

5 Intégrales dépendant d'un paramètre

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5 Intégrales dépendant d'un paramètre

Il y a deux théorèmes où la fonction dépend d'un paramètre.
Ces deux théorèmes vont être admis.
Il s'agit d'étudier la continuité et la classe $\mathcal{C}^{1}$ de : $F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dt$ ou de : $F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f\left( x,t\right) dt$
selon que l'on intégre sur $\left[ a,b\right[$ ou sur $\left[ a,+\infty\right[$ .
Dans tous les cas, est l'intervalle de variation de .

5.1 Continuité

Il faut vérifier avec soin les hypothèses du théorème.
Parfois, la fonction $\varphi$ est « annoncée » dans les questions précédentes.
La convergence de cette intégrale quand est fixé s'obtient directement par convergence absolue et comparaison à la fonction $\varphi$ .
Le théorème, quand il s'applique, montre donc cette convergence...

Exemple : Soit définie par $F\left( x\right) =\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac {dt}{t^{2}+x^{2}}$ dont on va montrer qu'elle est continue sur $\mathbb{R} _{+}^{\ast}.$ $\left( x,t\right) \rightarrow\dfrac{1}{t^{2}+x^{2}}$ est bien continue sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}\times\left[ 0,+\infty\right[$ comme fonction de 2 variables.
On prend maintenant et $x\in\left[ a,+\infty\right[ ,$ $\forall\left( x,t\right) \in\left[ a,+\infty\right[ \times\left[ 0,+\infty\right[ ,$ $\left\vert \dfrac{1}{t^{2}+x^{2}}\right\vert \leqslant\dfrac{1}{t^{2}+a^{2} }=\varphi\left( t\right)$ (qui ne dépend pas de ), et d'autre part $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{t^{2}+a^{2}}\,dt$ converge.
Ceci prouve que est continue sur tous les intervalles $\left[ a,+\infty\right[$ avec
Enfin, est continue sur $\left] 0,+\infty\right[$

5.2 Classe $\mathcal{C}^{1}$

Pour montrer que est de Classe $\mathcal{C}^{1}$ , on commence toujours par montrer que est continue sur .

Théorème : définie par $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)\,dt$ $\begin{displaymath}f:\left. \begin{array}[c]{rcl} J\times\left[ a,b\right[ & \... ...\mathbb{R}\\ (x,t) & \mapsto & f(x,t) \end{array} \right\} \end{displaymath}$ avec continue sur $J\times\left[ a,b\right[$ ,
Si il existe $\varphi$ telle que, $\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} \forall x\in J,\,\forall t\in... ...nt_{a}^{b}\varphi(t)\,dt\text{ converge} \end{array} \right\}\end{displaymath}$ alors est définie et continue sur .
Si, de plus, admet une dérivée partielle $\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,t\right)$ , continue sur $J\times\left[ a,b\right[ ,$
Et si il existe $\psi$ telle que : $\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} \forall x\in J,\,\forall t\in... ...e\int_{a}^{b}\psi(t)\,dt\text{ converge} \end{array} \right\}\end{displaymath}$
alors est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur et : $F^{\prime}(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt$ .

Théorème : définie par $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x,t)\,dt$ $\begin{displaymath}f:\left. \begin{array}[c]{rcl} J\times\left[ a,+\infty\righ... ...\mathbb{R}\\ (x,t) & \mapsto & f(x,t) \end{array} \right\} \end{displaymath}$ avec continue sur $J\times\left[ a,+\infty\right[$ ,
Si il existe $\varphi$ telle que, $\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} \forall x\in J,\,\forall t\in... ...{+\infty}\varphi(t)\,dt\text{ converge} \end{array} \right\} \end{displaymath}$
alors est définie et continue sur .
Si, de plus, admet une dérivée partielle $\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,t\right)$ , continue sur $J\times\left[ a,+\infty\right[ ,$
Et si il existe $\psi$ telle que : $\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}[c]{c} \forall x\in J,\,\forall t\in... ...{a}^{+\infty}\psi(t)\,dt\text{ converge} \end{array} \right\}\end{displaymath}$
alors est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur et : $F^{\prime}(x)=\displaystyle\int_{a}^{+\infty}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt$ .

Remarque : Il est important que $\varphi$ , et $\psi$ , ne dépendent pas de .
Ce sont des fonctions réelles positives dont les intégrales convergent.

Exemple : On reprend l'exemple précédent avec définie par $F\left( x\right) =\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac {dt}{t^{2}+x^{2}}$ dont on va montrer maintenant qu'elle est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R} _{+}^{\ast}.$
On ne remontre pas la continuité déjà étudiée. $\left( x,t\right) \rightarrow\dfrac{1}{t^{2}+x^{2}}$ admet une dérivée partielle par rapport à qui est $\dfrac{-2x}{\left( t^{2}+x^{2}\right) ^{2}}$ continue sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}\times\left[ 0,+\infty\right[$ comme fonction de 2 variables.
On prend maintenant et $x\in\left[ a,A\right] ,$ $\forall\left( x,t\right) \in\left[ a,A\right] \times\left[ 0,+\infty\right[ ,$ $\left\vert \dfrac{-2x}{\left( t^{2}+x^{2}\right) ^{2}}\right\vert \leqslant\dfrac {2A}{\left( t^{2}+a^{2}\right) ^{2}}=\psi\left( t\right)$ (qui ne dépend pas de ), et d'autre part $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2A}{\left( t^{2}+a^{2}\right) ^{2}}\,dt$ converge.
Ceci prouve que est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur tous les intervalles $\left[ a,A\right]$ avec
et que $F^{\prime}\left( x\right) =\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{-2x}{\left( t^{2}+x^{2}\right) ^{2}}\,dt$ .
Enfin, est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left] 0,+\infty\right[$ et vérifie $F^{\prime}\left( x\right) =\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{-2x}{\left( t^{2}+x^{2}\right) ^{2}}\,dt$ .

5.3 Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction de la variable est l'ensemble des valeurs de pour lesquelles on peut effectivement calculer .

Ainsi, si on a :

$F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dt$ ou,

$F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f\left( x,t\right) dt$ ou encore,

$F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt$

L'ensemble de définition de est l'ensemble des valeurs de telles que :

l'intégrale est simple, ou bien,
l'intégrale est généralisée et convergente.

Exemple : On va chercher l'ensemble de définition de définie par : $F(x)=\displaystyle\int_0^1\ln \left(x^2+t^2\right) dt$
Pour $x\neq 0$ , l'intégrale est une intégrale simple.
Pour , on a une intégrale généralisée avec un problème de convergence en 0.
En 0, l'intégrale $\displaystyle\int_0^1\ln \left( t^2\right) dt$ converge car l'intégrale $\displaystyle\int_0^1\ln \left( t\right) dt$ converge. vL'ensemble de définition de est donc $\mathbb{R}$ .