Chapitre 9 : Séries numériques

1 Convergence des Séries Numériques

Sous-sections

1 Convergence des Séries Numériques

1.1 Nature d'une série numérique

Définition : Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathbb{K}$ $\left( \mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C}\right)$ .
On appelle suite des sommes partielles de $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ , la suite $\left( s_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ , avec $s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}$ .

Définition : On dit que la série de terme général $u_{n}$ , converge $\Leftrightarrow$ la suite des sommes partielles $\left( s_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge.
Sinon, on dit qu'elle diverge.

Notation : La série de terme général se note $\displaystyle \sum u_n$ .

Définition : Dans le cas où la série de terme général $u_{n}$ converge, la limite, notée , de la suite $\left( s_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est appelée somme de la série et on note : $s=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_{n}$ .
Le reste d'ordre de la série est alors noté $r_{n}$ et il vaut : $r_{n}=s-s_{n}$ .

Définition : La nature d'une série est le fait qu'elle converge ou diverge.

Etudier une série est donc simplement étudier une suite, la suite des sommes partielles de $\left( u_{n}\right)$ .
Le but de ce chapitre est de développer des techniques particulières pour étudier des séries sans nécessairement étudier la suite des sommes partielles.
Dans certains cas, on reviendra à la définition en étudiant directement la convergence de la suite des sommes partielles.

Remarque : La convergence d'une série ne dépend pas des premiers termes...

1.2 Exemple fondamental : les séries géométriques

Théorème : La série de terme général $x^{n}$ converge $\Leftrightarrow\left\vert x\right\vert <1$ .
De plus, la somme est : $s=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}=\dfrac{1}{1-x}$ .

Preuve. $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}x^{k}=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$ pour $x\neq1$ . $\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$ n'a de limite finie que si $\left\vert x\right\vert <1$ , cette limite est alors $\dfrac{1}{1-x}$ .
D'autre part, pour , $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}x^{k}=n+1$ diverge. $\qedsymbol$

Remarque : La raison d'une suite géométrique est le coefficient par lequel il faut multiplier chaque terme pour obtenir le suivant.
La somme des termes d'une série géométrique convergente est donc : $\dfrac{\text{« le premier terme »}}{1-\text{« la raison »}}$ .
Ceci prolonge et généralise la somme des termes d'une suite géométrique qui est :

$\displaystyle \dfrac{\text{« le premier terme »}-\text{« le premier terme manquant »}}{1-\text{« la raison »}}$

Quand la série converge, il n'y pas de termes manquants...
La formule est la même.

1.3 Condition nécessaire élémentaire de convergence

Théorème : $\displaystyle\sum u_{n}$ converge $\Rightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_{n}=0$ .

Preuve. $\displaystyle\sum u_{n}$ converge $\Rightarrow\left( s_{n}\right)$ converge vers $s\Rightarrow\left( s_{n+1}\right)$ converge vers $\Rightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_{n+1}-s_{n}=0\Rightarrow \lim\li... ...\rightarrow\infty}u_{n+1}=0\Rightarrow\lim\limits_{n\rightarrow \infty}u_{n}=0$ . $\qedsymbol$

Remarque : Si une série converge, son terme général tend vers 0.
Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.

1.4 Suite et série des différences

Théorème : La suite $\left( v_{n}\right)$ converge $\Leftrightarrow$ la série $\displaystyle\sum\left( v_{n+1}-v_{n}\right)$ converge.

Preuve. On considère $\displaystyle\sum\left( v_{n+1}-v_{n}\right)$ , sa suite des sommes partielles est $\left( s_{n}\right)$ avec

$\displaystyle s_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\left( v_{k+1}-v_{k}\right) =v_{n+1}-v_{0}$

Les suites $\left( s_{n}\right)$ et $\left( v_{n+1}\right)$ sont de même nature, il en est de même de $\left( v_{n}\right)$ . $\qedsymbol$