Définition : On dit qu'une série est une série à termes positifs
,
.
Définition : On dit qu'une série est une série à termes positifs à partir d'un certain rang
Théorème : et
deux séries positives à partir d'un certain rang
, telles que
Si converge, alors
converge. Si
diverge, alors
diverge.
Preuve. Seule la première assertion est à montrer, l'autre est équivalente. On le montre pour les séries positives .
On pose ,
et
, on a
.
Les suites et
sont croissantes et la deuxième converge.
On a donc . Ce qui prouve que
est croissante majorée et donc converge.
Pour le cas de séries positives à partir du rang , on considère les sommes partielles
...
Exemple : Etudions la convergence de
C'est une série à termes positifs (ou plus simplement positive), on va pouvoir utiliser le critère de comparaison.
A l'infini, tend vers 0 et donc
est une suite bornée par
On a donc
ce qui donne
qui est le terme général d'une série géométrique de raison
donc convergente.
Ceci prouve que converge.
Théorème : et
deux séries positives à partir d'un certain rang
, telles que :
alors et
sont de même nature.
Preuve. A partir d'un certain rang , on a
.
Si converge,
converge et donc
converge.
Si converge,
converge et donc
converge.
On peut remarquer que le critère d'équivalence est, par liné arité, applicable à des séries de signe constant à partir d'un certain rang.
Exemple : Etudions la convergence de .
C'est une série à termes positifs (ou plus simplement positive), on va pouvoir utiliser le critère d'équivalence. qui est le terme général d'une série géométrique de raison
donc convergente.
Ceci prouve que converge.
Théorème : Soit une application positive et décroissante sur
,
alors la série et
sont de même nature.
Et si elles convergent,
Preuve. Remarquons d'abord que, comme est croissante,
converge
la suite
converge.
On prendra pour la démonstration . Comme
décroit sur
,
et en intégrant, comme on peut le voir sur la figure ci-dessous : .
d'où en sommant , ce qui assure le résultat.
Exemple : Etudions la convergence de
définie par
est positive, décroissante sur
et
converge et est de même nature que la série étudiée.
Ceci prouve que converge.
Théorème : converge
.
Ce sont les séries de Riemann.
Preuve. On compare cette série avec et le résultat est immédiat.
Ceci nous donne la règle de Riemann.
Théorème : , alors :
converge
.
Preuve. Il suffit d'utiliser le critère d'équivalence et le théorème précédent.
Théorème : une série à termes positifs non nuls (à partir d'un certain rang) telle que :
Remarque : Ce théorème est séduisant à priori, mais on tombe très souvent sur le cas douteux.
Il s'utilise souvent dans le cadre des séries entières qu'on étudiera dans quelques chapitres. Avec les séries numériques, il s'utilise principalement quand on se trouve en présence de factorielles ou de termes de nature géométrique du type : .
Preuve. Pour , la suite positive
croit et ne tend donc pas vers 0. On a bien la divergence grossière.
Pour , à partir d'un certain rang
.
et donc par récurrence très facile, pour ,
.
Cette dernière série est géométrique, le théorème de comparaison entre séries positives fournit le résultat.
Exemple : Etudions la convergence de
C'est une série à termes strictement positifs, on va pouvoir utiliser le critère de d'Alembert.
Ceci prouve que converge.