Chapitre 9 : Séries numériques

4 Séries Absolument Convergentes

Sous-sections

4 Séries Absolument Convergentes

4.1 Convergence absolue d'une série numérique

Définition : Une série $\displaystyle\sum u_{n}$ est absolument convergente $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\sum\left\vert u_{n}\right\vert$ est convergente.
Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

4.2 Convergence des séries absolument convergentes

Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.

Preuve. Comme $\left\vert \operatorname{Re}u_{n}\right\vert \leqslant\left\vert u_{n}\right\vert$ et $\left\vert \operatorname{Im}u_{n}\right\vert \leqslant\left\vert u_{n}\right\vert$ , il suffit par linéarité de le montrer pour les séries à valeur réelle.
Pour celles-ci, on pose $u_{n}^{+}=\max\left( u_{n},0\right)$ et $u_{n} ^{-}=\max\left( -u_{n},0\right)$ .
Les séries $\displaystyle\sum u_{n}^{+}$ et $\displaystyle\sum u_{n}^{-}$ sont positives et $u_{n}^{+}\leqslant\left\vert u_{n}\right\vert$ , $u_{n}^{-}\leqslant\left\vert u_{n}\right\vert$ prouvent par comparaison que ces séries convergent.
Comme $u_{n}=u_{n}^{+}-u_{n}^{-}$ , on a bien $\displaystyle\sum u_{n}$ converge. $\qedsymbol$

Attention, ceci n'est pas une équivalence, on verra qu'il existe des séries semi-convergentes.
L'exemple le plus classique est $\displaystyle\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{n}.$

4.3 Un moyen classique de montrer une convergence absolue de série

Ceci n'est pas un théorème mais un procédé usuel qu'il faut justifier à chaque fois.
Si il existe $\alpha>1$ tel que $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n^{\alpha }u_{n}=0$ , alors $\left\vert u_{n}\right\vert =o\left( \dfrac{1}{n^{\alpha} }\right)$ , comme $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ converge, par comparaison, $\displaystyle\sum u_{n}$ converge absolument.